[論文レビュー] A counterexample on spectra of zero patterns

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素数体上での $2n$ 予想の複素数版に対する反例を構成している。$8\times8$ のゼロパターンで、非ゼロ要素が $15 = 2\cdot8 - 1$ 個であるものについて、複素数体上でのスペクトル的任意性を示している。著者らは変数を含む構造的行列と代数幾何学的手法を用い、複素数体上での任意のモニック8次多項式が特性多項式として実現可能であることを示し、複素数体上でのスペクトル的任意性に必要な非ゼロ要素の最小数が $2n$ であるという予想を反証した。

ABSTRACT

An $n imes n$ zero pattern $S$, which is a matrix with entries $*$ and $0$, is called spectrally arbitrary with respect to a field $F$ if any monic polynomial $f$ of degree $n$ can be realized as the characteristic polynomial of a matrix obtained from $S$ by replacing the $*$'s with non-zero elements of $F$. We construct an $n imes n$ zero pattern that is spectrally arbitrary with respect to $\mathbb{C}$ and has $2n-1$ nonzero entries.

研究の動機と目的

• 実数体上でのスペクトル的任意性に必要な非ゼロ要素の最小数が $2n$ であると広く信じられている $2n$ 予想に挑戦すること。
• 複素数体上でも、スペクトル的任意性に必要な非ゼロ要素の最小数が $2n$ であるかどうかを検討すること。
• 複素数体上での $2n$ 予想の類似版を反証するため、$2n-1$ 個の非ゼロ要素を持つ具体的なゼロパターンの構成を試みること。
• マドドナルドとヤンディングが提起した、スペクトルの実現可能性およびスペクトル的任意パターンの構造に関する未解決問題に答えを提示すること。

提案手法

• 非ゼロ要素が15個ある特定の $8\times8$ ゼロパターン $S$ を定義し、その非ゼロ要素を $x_1, \dots, x_8$ という変数として表す。これらの変数は任意の非ゼロ複素数値を取ることができる。
• パターン $S$ から行列 $X(x_1, \dots, x_8)$ を構成し、その特性多項式 $\varphi(t) = \det(tI - X)$ を計算する。この多項式は、$\mathbb{C}[x_1, \dots, x_8]$ 上のモニック多項式である。
• 記号計算を用いて、係数 $\varphi_4$ が $\varphi_7$ の倍数であることを示し、$\varphi_7 = 0$ であるのは $\varphi_4 = 0$ のときのみであることを示す。これにより、実現可能な多項式の集合が制限される。
• 根の初等対称式 $\tau_i$ を用いて $x_1, \dots, x_8$ の有理関数解を求める。これにより、分母または分子がゼロにならない限り、すべてのモニック多項式が実現可能であることが示される。
• 有理関数の分母および分子の最小公倍数として多項式 $\pi(\tau_0, \dots, \tau_7)$ を定義する。このとき $\pi \neq 0$ であれば、その多項式は実現可能である。
• ビエートの公式と、$\psi(\sigma) = \pi(s_8, \dots, s_1)$ の全次数が94であることを用いて、任意の102個の異なる複素数からなる集合に、パターン $S$ によって実現可能なスペクトルをもつ8要素の部分集合が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ要素が $2n$ 個未満のゼロパターンが、複素数体上でのスペクトル的任意性を満たすことは可能か？
• RQ2 実数体上でのスペクトル的任意性に必要な非ゼロ要素の最小数が $2n$ であると主張する $2n$ 予想は、複素数体に対しても成り立つか？
• RQ3 行列 $A$ がスペクトル的任意でない場合でも、ブロック対角行列 $\operatorname{diag}(A,B)$ が複素数体上でのスペクトル的任意性を満たすことは可能か？
• RQ4 ゼロパターンにどのような代数的条件を課すと、それが複素数体上でのスペクトル的任意なブロック対角行列のブロックとして機能するか？
• RQ5 なぜ実数体上の $2n$ 予想は、複素数体上のそれよりも反例に対してより頑健であるのか？

主な発見

• $8\times8$ のゼロパターン $S$ は非ゼロ要素が $15 = 2\cdot8 - 1$ 個であるが、複素数体上でのスペクトル的任意性を満たしており、$2n$ 予想の複素数版に対する反例を提供している。
• パターン $S$ は、$t^8$ や $(t-1)^8$ を含む、複素数体上での任意のモニック8次多項式を、$S$ から導かれる行列の特性多項式として実現可能である。
• 8つの変数に関する全次数が94の多項式 $\psi(\sigma)$ を構成し、$\psi(\sigma) \neq 0$ であれば、8個の複素数からなる集合 $\sigma$ がパターン $S$ によって実現可能であることを示している。
• 708個の複素数からなる集合 $U$ で、異なる要素が少なくとも102個含まれる場合、$S$ によって実現可能なスペクトルをもつ8要素の部分集合が存在する。
• 行列 $\operatorname{diag}(S, D_{700})$（$D_{700}$ は $2\times2$ のすべてが非ゼロのブロックからなる $1400\times1400$ ブロック対角行列）は、複素数体上でのスペクトル的任意性を満たし、非ゼロ要素は $1415 = 2\cdot708 - 1$ 個である。
• 本結果により、マドドナイルとヤンディングが提起した2つの未解決問題に答えが得られた：（1）複素数体上での $2n-1$ 個の非ゼロ要素を持つスペクトル的任意ゼロパターンの存在、（2）$\operatorname{diag}(A,B)$ がスペクトル的任意であるが $A$ がそうではないようなパターン $A,B$ の存在。