[論文レビュー] A counterexample to a hypothesis of light tail of maximum distribution for continuous random processes with light finite-dimensional tails

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、連続的かつ中心化された確率過程が、有限次元分布において軽い尾を持つならば、その最大分布に対しても軽い尾を持つはずだという仮説に対して反例を構築する。有限測度の確率空間上に、互いに不交な重い尾を持つ確率変数の適切に設計された列を用いて、過程が有限次元で軽い尾（例えば $L_{p_0}$ またはオルリッチ空間において）を持つにもかかわらず、その本質的上限が重い尾——具体的には $p_0$ 乗のべき則尾——を持つことを示している。これにより、そのオルリッチノルムが特定のヤング関数に対して無限大となり、予想されていた尾の伝播が否定される。

ABSTRACT

We construct an example of a continuous centered random process with light tails of finite-dimensional distribution but with heavy tail of maximum distribution.

研究の動機と目的

• 連続的かつ中心化された確率過程が、有限次元で軽い尾を持つならば、その最大分布の尾も軽いはずだという仮説を反証すること。
• 過程の上限の尾の挙動が、その有限次元的分布の尾よりも著しく重くなる可能性があることを示すこと。
• 有限次元分布が $L_{p_0}$ およびオルリッチ空間において軽い尾を持つが、最大分布が重い尾を持つような明示的な連続的確率過程の例を構築すること。

提案手法

• Lebesgue測度を備えた確率空間 $(0,1)$ 上に、互いに非負かつ互いに不交な確率変数 $g_n(x)$ の列を定義し、各 $g_n$ は縮小する区間 $I_n = (a(n), a(n+1))$ 上に台を持つ。
• 各 $g_n$ を $c(n) = n^{eta}$ でスケーリングし、$ \beta = \alpha/p_0$ とし、$\alpha \in (0,1)$ とする。これにより $L_p$ ノルムと尾の挙動を制御する。
• 不交性により $|\sum g_n|_p^p = \sum |g_n|_p^p$ が成り立つことを利用し、上限 $g = \sup_n |g_n|$ の $L_p$ ノルムを精密に制御する。
• 上昇する $p \to p_0^-$ において $|g|_p \sim C (p_0 - p)^{-1/p_0}$ であることを示し、$||g||_{G_{1/p_0,p_0}} < \infty$ となることから、上限がグランド・ルベーグ空間に属することを示す。
• Young関数 $\Psi(u) = |u|^{p_0} (\log(e + |u|))^{-1/2}$ を構成し、$\Phi(u) = |u|^{p_0}$ に対して $\Psi << \Phi$ であることを用い、$\eta(x) \sim x^{-1/p_0}$ に対して $\int \Psi(|\eta(x)|) dx$ の発散を示すことにより、$||g||_{Or(\Psi)} = \infty$ を証明する。
• Rademacher対称化を適用し、上限の尾の挙動が同一となる中心化過程 $\theta(t)$ を得る。これにより、反例の構造が保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的かつ中心化された確率過程が、有限次元で軽い尾を持つならば、その最大分布の尾も軽いはずだというか？
• RQ2 有限次元のマージナルが $L_{p_0}$ またはオルリッチノルムで軽い尾を持つとしても、過程の上限がそれよりも著しく重い尾を持つことは可能か？
• RQ3 有限次元分布が $Or(\Phi)$ で有界であるが、Young関数 $\Psi << \Phi$ に対して、上限のオルリッチノルムが無限大となるような過程を構築することは可能か？
• RQ4 エントロピーまたは一般化チェインニング条件が、より強いモーメントまたは尾の条件がなければ、軽い尾を持つ上限を保証しないのはなぜか？
• RQ5 無限測度空間ではなく、有限測度の確率空間上でも、このような反例を構築することは可能か？

主な発見

• 構築された過程 $\theta(t)$ の上限の尾は $z^{-p_0}$ の速度で減少し、指数的またはサブガウス型の尾よりも重いべき則尾である。
• 有限次元分布が $L_{p_0}$ ノルムおよび $\Phi(u) = |u|^{p_0}$ を用いたオルリッチ空間 $Or(\Phi)$ で有界であるにもかかわらず、上限のオルリッチノルム $||g||_{Or(\Psi)}$ は $\Psi(u) = |u|^{p_0} (\log(e + |u|))^{-1/2}$ に対して無限大である。
• 上限の尾はあまりに重いため、$||\sup_t |\theta(t)|||_{Or(\Psi)} = \infty$ であり、$\Psi << \Phi$ であるにもかかわらず、仮説が否定される。
• 上限の $L_p$ ノルムは $p \to p_0^-$ において $|g|_p \sim C (p_0 - p)^{-1/p_0}$ を満たし、グランド・ルベーグ空間ノルム推定の鋭さが確認される。
• オルリッチノルムに代えて一般化されたローレンツノルムや $K(h)$-クasiノルムを用いても、反例は有効であり、尾の測定方法に依存しない現象の強さが示される。
• 過程が任意の分離可能なバナッハ空間に値を取る場合でも、この結果は成り立つ。これは、尾の伝播の失敗が関数空間特有のものではなく、構造的性質であることを示している。