[論文レビュー] A Counterexample to the Generalized Linial-Nisan Conjecture

Alekseev, Yaroslav, Göös, Mika+5 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、整数リスト上の全射関数を用いて、定数バイアスで一様分布とほぼk-独立な分布を区別できる深さ3のAC0回路を構築することで、一般化されたリンゲル・マウーサー・ニーソン（GLN）予想を反証した。この反例は、BQPとPHのオракル分離がGLNアプローチによって得られることはないが、一方で、AC0関数のフーリエ近似における低脂肪多項式の限界を示し、ランダムオーキュールに関してΠ²_pがP^NPに含まれない確率1の証明を示している。

ABSTRACT

Aaronson (STOC 2010) conjectured that almost k-wise independence fools constant-depth circuits; he called this the generalised Linial-Nisan conjecture. Aaronson himself later found a counterexample for depth-3 circuits. We give here an improved counterexample for depth-2 circuits (DNFs). This shows, for instance, that Bazzi’s celebrated result (k-wise independence fools DNFs) cannot be generalised in a natural way. We also propose a way to circumvent our counterexample: We define a new notion of pseudorandomness called local couplings and show that it fools DNFs and even decision lists.

研究の動機と目的

• 一般化されたリンゲル・マウーサー・ニーソン（GLN）予想を反証すること。この予想は、ほぼk-独立な分布が定数深さ回路によって一様分布と区別できないと主張していた。
• GLN予想がBQPとPHのオーキュール分離を証明するために使用できないことを示すこと。
• リンゲル・マウーサー・ニーソンによるAC0関数近似に関する結果が、低脂肪多項式を用いて強化できないことを示すこと。
• ランダムオーキュールに関してΠ²_pがP^NPに含まれない確率1を確立することにより、PHがランダムオーキュールに関して無限大であるという長年の未解決問題に前進すること。

提案手法

• 整数リストが[M]から[M]への全射であるかどうかをチェックするブール関数fSurjを定義し、2進数で符号化してブール問題に変換する。
• fSurjを計算する深さ3のAC0回路を構築し、入力リスト上の交互な量化子を用いてグローバルな性質を表現する。
• nビット文字列上のほぼk-独立な分布を設計し、これは一様分布に統計的に近いが、fSurj回路によって定数バイアスで区別可能である。
• ランダム入力の像のサイズ分布の確率的解析を用いて、一様分布とほぼk-独立な分布の下での期待値を比較する。
• コーシー・シュバルツの不等式と階乗の減衰に関する境界を用い、回路のバイアスと近似多項式の脂肪含量および次数との関係を導出する。
• GLN予想と低脂肪サンドイッチ多項式の双対性を用いて、fSurjをL²ノルムで近似する低脂肪・低次数多項式が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GLN予想が深さ3のAC0回路について成り立つ可能性はあるか？ これは、かつてBQPとPHのオーキュール分離を示すものだと考えられていた。
• RQ2 AC0で計算可能な関数として、高次の平均ブロック感受性を持つ関数を構築することは可能か？ これはパリティ関数のような直感とは反する。
• RQ3 リンゲル・マウーサー・ニーソンによるAC0関数の低次数多項式近似結果を、近似多項式が低脂肪でなければならないという条件に強化できるか？
• RQ4 GLNの反例の存在は、ランダムオーキュールに関してPHが無限大であることを確率1で示すか？
• RQ5 AC0で計算可能な関数は、低次数多項式では近似可能だが、低脂肪・低次数多項式では近似できないか？

主な発見

• GLN予想は深さ3のAC0回路について誤りである：特定の回路が整数リストの全射性を計算するが、e^O(k/n)-ほぼk-独立な分布と一様分布を定数バイアスで区別できる。
• 反例は、ランダムオーキュールに関してΠ²_pがP^NPに含まれない確率1を示し、PHがランダムオーキュールに関して無限大であることを示すために初めて非自明な進展をもたらした。
• 深さ3のAC0回路で計算可能なブール関数fSurjが存在し、任意のL²近似多項式pについて、deg(p) × fat(p) = Ω(n / log²n)を満たす必要がある。これは、低脂肪近似が不十分であることを示している。
• リンゲル・マウーサー・ニーソンによるAC0関数の低次数多項式近似結果は、脂肪含量の観点から改善できない。任意の関数について、低次数かつ低脂肪な多項式による良好な近似は不可能である。
• fSurjの平均ブロック感受性はΩ(n / log n)である。これは、AC0関数が通常AC0の外にある関数（例えばパリティ関数）に特徴づけられるブロック感受性の性質を示す可能性があることを示している。
• この結果は、元のGLN予想が高さの大きい回路について失敗したとしても、深さ2の回路については依然として成立する可能性があることを示しており、深さ2のGLN予想を用いてBQPがAMに属さないことを証明する可能性を残している。