[論文レビュー] A density theorem for asymptotically hyperbolic initial data satisfying the dominant energy condition

Mattias Dahl, Anna Sakovich|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

advanced mathematical theories参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論における漸近的に双曲的初期データセットが支配的エネルギー条件を満たす場合の密度定理を確立する。著者らは、漸近的にオーロンディアンの場合の手法を適応させることで、任意のこのような初期データセットが、質量を任意の所望の誤差内に保ちつつ、厳密に正の局所的エネルギー密度と単純な調和的漸近挙動を有するデータセットにより、任意に近似的に近似可能であることを証明する。

ABSTRACT

When working with asymptotically hyperbolic initial data sets for general relativity it is convenient to assume certain simplifying properties. We prove that the subset of initial data sets with such properties is dense in the set of physically reasonable asymptotically hyperbolic initial data sets. More specifically, we show that an asymptotically hyperbolic initial data set with non-negative local energy density can be approximated by an initial data set with strictly positive local energy density and a simple structure at infinity, while changing the mass arbitrarily little. This is achieved by suitably modifying the argument used by Eichmair, Huang, Lee and Schoen in the asymptotically Euclidean case.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における漸近的にオーロンディアンから漸近的に双曲的初期データセットへの密度結果の拡張。
• 支配的エネルギー条件を満たす初期データセットが、厳密に正の局所的エネルギー密度および調和的漸近挙動を有するものに近似可能であることを示すこと。
• 近似の過程で、元のデータセットの質量（エネルギーおよび運動量）を任意の精度に保つこと。
• 漸近的に双曲的設定における正の質量定理および関連する予想を証明するための技術的基盤を提供すること。

提案手法

• 漸近的にオーロンディアンの場合にEichmair, Huang, Lee, and Schoenが用いた摂動論法を、漸近的に双曲的設定に適応する。
• 重み付きソボレフ空間およびH"older空間 $C^{k,eta}_{ au}$ を用いて、無限遠における減衰を制御し、解の正則性を保証する。
• 線形制約作用素の構造と楕円型正則性理論を用いて、エネルギー密度を厳密に増加させる摂動を構成する。
• 粗いラプラシアンの解に対する一意的拡張性を用いて、摂動が物理的に不適切な解を導入しないことを保証する。
• 指数的減衰を伴う修正ベッセル関数を含む明示的な積分公式を用いて、線形化された制約方程式の解を構成する。
• カットオフおよびグリューリング手順を実装し、初期データセットを大域的に変更しながら、支配的エネルギー条件および漸近的構造を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配的エネルギー条件を満たす任意の漸近的に双曲的初期データセットは、厳密に正の局所的エネルギー密度を有するものに近似可能か？
• RQ2 調和的漸近挙動および厳密な支配的エネルギー条件を満たす初期データセットの集合は、物理的に妥当な漸近的に双曲的初期データセット全体の空間において稠密か？
• RQ3 このような近似は、質量（エネルギーおよび運動量）を任意に小さな量だけ変更することで行えるか？
• RQ4 粗いラプラシアンの解に対する一意的拡張性は、摂動が物理的に不適切な解を導入しないことを保証するか？
• RQ5 漸近的にオーロンディアンの場合の手法は、質量および漸近的構造に対する同等の制御を伴って、漸近的に双曲的設定に拡張可能か？

主な発見

• 厳密に正の局所的エネルギー密度および調和的漸近挙動を有する漸近的に双曲的初期データセットの集合は、支配的エネルギー条件を満たす物理的に妥当なすべての初期データセットの集合において稠密である。
• このような任意の初期データセットは、所定の $
  $-誤差内に同じ質量を持つ摂動付きデータセットにより近似可能である。
• 摂動は支配的エネルギー条件を保ち、かつエネルギー密度が常に運動量ノルムよりも厳密に大きいことを保証する。
• 構成は、指数的減衰および修正ベッセル関数を含む線形化された制約方程式の解公式に依存しており、無限遠における所定の減衰を保証する。
• 楕円型正則性および一意的拡張定理を用いて、摂動付きデータセットが無限遠で滑らかで適切に振る舞うことを保証する。
• この結果は、漸近的にオーロンディアンの密度定理を双曲的設定に一般化し、この文脈における正の質量定理の証明に重要な道具を提供する。