[論文レビュー] A Description of Quantum Chaos

Kei Inoue, Andrzej Kossakowski+1 more|ArXiv.org|Jun 30, 2004

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、C*-代数的形式主義を用いて、量子遷移ダイナミクスにおけるエントロピック・カオス度（ECD）を導入し、量子系におけるカオスの度合を定量化する。非カオス的ダイナミクス（例：散逸写像）がECDをゼロにすることを証明し、スピン1/2系を用いた検証により、ECDがカオス的振る舞いを効果的に捉えていることが示され、量子カオス理論への応用が妥当であることが裏付けられる。

ABSTRACT

A measure describing the chaos of a dynamics was introduced by two complexities in information dynamics, and it is called the chaos degree. In particular, the entropic chaos degree has been used to characterized several dynamical maps such that logistis, Baker's, Tinckerbel's in classical or quantum systems. In this paper, we give a new treatment of quantum chaos by defining the entropic chaos degree for quantum transition dynamics, and we prove that every non-chaotic quantum dynamics, e.g., dissipative dynamics, has zero chaos degree. A quantum spin 1/2 system is studied by our chaos degree, and it is shown that this degree well describes the chaotic behavior of the spin system.

研究の動機と目的

• 情報ダイナミクスの原則を用いて、量子系におけるカオスの一貫した測度を確立すること。
• 古典的および量子的ダイナミクスの両方に適用可能な、量子カオス測度「エントロピック・カオス度（ECD）」を定義すること。
• 非カオス的ダイナミクス（例：散逸写像）がゼロのECDを示すことを証明し、古典的直観と整合することを確認すること。
• 時間発展する磁場下における量子スピン1/2系を用いて、ECDが特定のダイナミクス下でカオス的振る舞いを正確に反映することを検証すること。
• C*-代数的構造を用いて、情報ダイナミクスの枠組みを量子遷移写像へと拡張すること。

提案手法

• 参照状態空間と極端な直交分解を用いて、C*-代数的言語でエントロピック・カオス度（ECD）を定義する。
• 密度作用素のすべてのシュレーディンガー分解における下界としてECDを表現する：$ D(\rho;\Lambda^*) = \inf \sum_k p_k S(\Lambda^* E_k) $、ここで$ S $はフォン・ノイマンエントロピーである。
• 散逸的ダイナミクスを含む量子写像にECDを適用し、このような写像がゼロのECDをもたらすことを証明する。
• ブロッホベクトルのダイナミクスとユニタリ発展演算子を用いて、時間発展する磁場下のスピン1/2系をモデル化する。
• スピンダイナミクスをブロッホ球上の古典的写像に写像し、$ \vec{e}_n $ における反復写像に帰着させ、カオス的系列を生成する。
• 2つの例（ロジスティック的および2次写像）についてECDを数値的に計算し、スピン系におけるカオス的振る舞いと相関していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 情報理論的原則を用いて、古典的および量子的力学的系の両方における一貫したカオス測度を定義できるか？
• RQ2 エントロピック・カオス度は、散逸写像などの非カオス的ダイナミクスがゼロのカオスを示すことを正しく特定するか？
• RQ3 時間に依存するハミルトニアン下の量子スピン1/2系において、エントロピック・カオス度はどのように振る舞うか？
• RQ4 スピン系をブロッホ球上での古典的反復写像に写像した場合、ECDは量子系におけるカオス的振る舞いを検出できるか？
• RQ5 量子ダイナミクスの文脈において、ECDと既知のカオス的写像（例：ロジスティック写像）との関係は何か？

主な発見

• エントロピック・カオス度（ECD）は、散逸写像を含むすべての非カオス的量子ダイナミクスに対してゼロであり、古典的期待と整合していることが確認された。
• スピン1/2系において、ECDは、写像された古典的ダイナミクスにおけるカオス的軌道と相関することから、カオス的ダイナミクスを効果的に捉えていることが示された。
• スピン系のECDは数値的に計算され、それに対応する古典的写像（例：ロジスティック写像）がカオス的である領域で増加することが示された。
• ECDはすべてのシュレーディンガー分解における下界として定義されており、異なる状態分解に対して堅牢であることが保証されている。
• 古典的極限においてECDは古典的情報理論的エントロピーに還元され、異なる領域における整合性が裏付けられた。
• スピン系のECDは初期条件に敏感であり、数値的プロット（図6.1および6.2）により、カオス的パrameter領域において非単調な振る舞いを示すことが確認された。