[論文レビュー] A Deterministic Algorithm for Computing the Weight Distribution of Polar Codes

Hanwen Yao, Arman Fazeli+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2021

Error Correcting Code Techniques参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、長さ128までの極性符号の正確な重み分布を計算する決定的アルゴリズムを提示する。符号の任意の逐次キャンセレーションデコード経路に沿って、極性コセットの重み分布を再帰的に計算する手続きを導出し、特にブロック下三角アフィン群を含む減少単項式符号の自己同型群を活用することで、指数的計算量を扱いやすい水準にまで低減し、(128,64)極性符号や(128,64)リード・マラー符号のような符号についても正確な計算を可能にする。

ABSTRACT

In this work, we present a deterministic algorithm for computing the entire weight distribution of polar codes. As the first step, we derive an efficient recursive procedure to compute the weight distribution that arises in successive cancellation decoding of polar codes along any decoding path. This solves the open problem recently posed by Polyanskaya, Davletshin, and Polyanskii. Using this recursive procedure, at code length n, we can compute the weight distribution of any polar cosets in time O(n^2). We show that any polar code can be represented as a disjoint union of such polar cosets; moreover, this representation extends to polar codes with dynamically frozen bits. However, the number of polar cosets in such representation scales exponentially with a parameter introduced herein, which we call the mixing factor. To upper bound the complexity of our algorithm for polar codes being decreasing monomial codes, we study the range of their mixing factors. We prove that among all decreasing monomial codes with rates at most 1/2, self-dual Reed-Muller codes have the largest mixing factors. To further reduce the complexity of our algorithm, we make use of the fact that, as decreasing monomial codes, polar codes have a large automorphism group. That automorphism group includes the block lower-triangular affine group (BLTA), which in turn contains the lower-triangular affine group (LTA). We prove that a subgroup of LTA acts transitively on certain subsets of decreasing monomial codes, thereby drastically reducing the number of polar cosets that we need to evaluate. This complexity reduction makes it possible to compute the weight distribution of polar codes at length n = 128.

研究の動機と目的

• 任意の逐次キャンセレーションデコード経路に沿った極性符号の重み分布を効率的に計算するという未解決問題を解くこと。
• ブルートフォース手法では限界に達する長さ128における極性符号の完全な重み分布の正確な計算を可能にすること。
• 減少単項式符号における代数的対称性を活用して、コセット列挙の指数的計算量を低減すること。
• 極性符号および自己双対リード・マラー符号における、必要なコセット数を制御する主要パラメータ「ミキシング要因」の上限を確立すること。
• 長さ128におけるすべての減少単項式符号について、対称性に基づく計算量削減を用いて正確な重み分布計算が可能であることを実証すること。

提案手法

• 任意のデコード経路に沿って発生する極性符号のコセットの重み母関数を再帰的に計算する手続きを開発すること。
• 任意の極性符号を互いに素な極性コセットの直和として表現し、個々のコセット分布を合算することで完全な重み分布を再構成可能にする。
• コセット数の指数的増加を定量化する「ミキシング要因」という概念を導入する。
• 特にブロック下三角アフィン群（BLTA）を含む減少単項式符号の自己同型群を活用して、等価なコセットを同定する。
• 下三角アフィン群（LTA）の部分群が特定のコセット部分集合に推移的に作用することを証明し、評価すべき異なるコセット数を顕著に削減可能であることを示す。
• 対称性削減を適用することで、(128,64)極性符号について評価すべきコセット数を $2^{34}$ から約 $2^{25.23}$ に、(128,64)リード・マラー符号についても $2^{49}$ から $2^{35.53}$ に削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブルートフォース列挙の限界を超えて、長さ128までの極性符号の重み分布を正確に計算できるか？
• RQ2 すべてのゼロパスに限らない任意のデコード経路に沿って、極性コセットの重み分布を再帰的に計算する方法は存在するか？
• RQ3 長さ128、レート ≤ 1/2 の減少単項式符号において、最大のミキシング要因は何か？ そしてそれはアルゴリズムの計算量にどのように制限を加えるか？
• RQ4 減少単項式符号の自己同型群を用いて、重み分布計算に必要なコセット数を削減できるか？
• RQ5 下三角アフィン群の対称性により、コセットの部分集合に推移的作用が可能となり、計算量の顕著な削減が達成できるか？

主な発見

• 5G信頼性シーケンスから構築された(128,64)極性符号の重み分布を正確に計算し、ラップトップで2時間未満で完了した。
• 対称性削減により、評価すべき極性コセット数が $2^{34}$ から約 $2^{25.23}$ に削減され、計算が可能になった。
• (128,64)リード・マラー符号は、長さ128、レート ≤ 1/2 の減少単項式符号の中で最大のミキシング要因（49）を有し、コセット数が $2^{49}$ から $2^{35.53}$ に削減された。
• 自己双対な(128,64)リード・マラー符号は、このような符号の中で最大のミキシング要因を有し、アルゴリズムは依然として計算的に実行可能である。
• アルゴリズムにより、長さ128における任意の減少単項式符号の重み分布が計算可能であることが示された。対称性削減後も、評価すべきコセット数は $2^{36}$ 未満に保たれる。
• 本アルゴリズムにより、長さ128における極性符号の完全な重み分布の正確な計算が達成され、符号理論における長年の未解決問題が解決された。