[論文レビュー] A Diagrammatic Category for the Representation Theory of U_q(sl_n)

Scott Morrison|ArXiv.org|Apr 12, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、同相型の下での三価グラフの図式的圏を構成し、それが量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_n)$ の表現圏へと写像する。この関手の核の生成子を帰納的関係を通じて特定する。主な貢献は、図式的ゲルファンド＝ツェルミン関手を用いた体系的枠組みであり、核の大部分を生成する明示的な関係（I=H、スクエア・スイッチ、ケクレ）を導出する。これらの関係が核を完全に記述するとの予想が提示されている。

ABSTRACT

This thesis provides a partial answer to a question posed by Greg Kuperberg in q-alg/9712003 and again by Justin Roberts as problem 12.18 in "Problems on invariants of knots and 3-manifolds", math.GT/0406190, essentially: "Can one describe the category of representations of the quantum group U_q(sl_n) (thought of as a spherical category) via generators and relations?" For each n \geq 0, I define a certain tensor category of trivalent graphs, modulo isotopy, and construct a functor from this category onto (a full subcategory of) the category of representations of the quantum group U_q(sl_n). One would like to describe completely the kernel of this functor, by providing generators. The resulting quotient of the diagrammatic category would then be a category equivalent to the representation category of U_q(sl_n). I make significant progress towards this, describing certain generators of the kernel, and some obstructions to further elements. It remains a conjecture that these relations generate the kernel. My results extend those of q-alg/9712003, MR1659228, math.QA/0310143 and math.GT/0506403. The argument is essentially by constructing a diagrammatic version of the forgetful functor coming from the inclusion of U_q(sl_{n-1}) in U_q(sl_n}. We know this functor is faithful, so a diagram is in the kernel for n exactly if its image under the diagrammatic forgetful functor is in the kernel for n-1. This allows us to perform inductive calculations, both establishing families of elements of the kernel, and finding obstructions.

研究の動機と目的

• 三価グラフと同相型関係を用いた $U_q(\mathfrak{sl}_n)$ の表現圏の図式的表現を提供すること。
• 図式的圏から $\mathrm{Rep}\,U_q(\mathfrak{sl}_n)$ への表現関手の核の生成子を同定すること。
• $U_q(\mathfrak{sl}_{n-1})$ の表現への分岐に基づく再帰的・帰納的枠組みを構築し、射の解析を行うこと。
• 同定された関係（I=H、スクエア・スイッチ、ケクレ）が核全体を生成するという予想を提示し、生成子と関係による完全な提示を完成させること。

提案手法

• 同相型の下での三価グラフのテンソル圏 $\mathrm{Sym}_n$ を定義し、辺は1（基本表現）でラベル付けされる。
• 図式的圏 $\mathrm{Sym}_n$ から $U_q(\mathfrak{sl}_n)$-表現の圏への関手を構成し、図式を交換子に写像する。
• 図式的ゲルファンド＝ツェルミン関手 $dGT$ を導入し、$U_q(\mathfrak{sl}_n)$ から $U_q(\mathfrak{sl}_{n-1})$-表現への忘却関手をモデル化する。
• 帰納的還元を用いる：図式が核にあるとは、$dGT$ による像がレベル $n-1$ で核にあることと同値であり、再帰的解析が可能になる。
• 重要な関係を同定する：I=H（恒等射が六角形に等しい）、スクエア・スイッチ（正方形上のブレードに類似した移動）、ケクレ（$n=4$ における六角形関係）。
• 小さなウェブにおける明示的計算と $q$-二項係数の恒等式、MOY型の評価規則の使用により、関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三価グラフの図式的圏を用いて、$U_q(\mathfrak{sl}_n)$-表現の圏を生成子と関係で提示できるか？
• RQ2 図式的圏におけるどの関係が表現関手の核に対応するか？
• RQ3 I=H、スクエア・スイッチ、ケクレの関係が、表現関手の核全体を生成するか？
• RQ4 図式的ゲルファンド＝ツェルミン関手を用いて、射およびその核を再帰的に特徴づけられるか？
• RQ5 $n \geq 4$ において、図式的圏に対して完全で、合流性を持つ関係の集合が存在するか？

主な発見

• 図式的圏 $\mathrm{Sym}_n$ は、$U_q(\mathfrak{sl}_n)$-表現理論の明確で、同相型不変な枠組みを提供する。
• I=H 関係は、符号が交互に並ぶ六角形が恒等射に等しいという主張であり、核の基本的生成子である。
• スクエア・スイッチ関係は、正方形内の交差を入れ替えるものであり、それが成立することが示され、非自明な核要素を生成する。
• $n=4$ におけるケクレ関係は、スクエア・スイッチとビゴン関係から導出可能であり、より深い構造的関係を示唆する。
• $n=2,3,4,5$ において、提示された関係は大きな核（おそらく完全な核）を生成し、小さなウェブでの明示的検証がなされている。
• 核のすべての要素がこれらの関係によって生成されることを予想し、パスモデルと多角形ウェブ構造が帰納的議論を支持している。