[論文レビュー] A dichotomy between uniform distributions of the Stern-Brocot and the Farey sequence

Marc Keßeböhmer, Bernd O. Stratmann|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限エルゴディック理論を用いて、Stern-Brocot列とFarey列の1の下での一様分布に関する二分法を確立する。特定の標準的重み付け—偶数番目のStern-Brocot列では $ q^{-2} $、Farey列では $ \frac{\zeta(2)}{\log n} \cdot q^{-2} $—の下で、重み付き経験測度が $[0,1]$ 上のLebesgue測度に弱収束することを証明し、ディオファントス近似におけるこの2つの基本的列の間の長年の分布的二分法を解消する。

ABSTRACT

We employ infinite ergodic theory to show that the even Stern-Brocot sequence and the Farey sequence are uniformly distributed mod 1 with respect to certain canonical weightings. As a corollary we derive the precise asymptotic for the Lebesgue measure of continued fraction sum-level sets as well as connections to asymptotic behaviours of geometrically and arithmetically restricted Poincaré series. Moreover, we give relations of our main results to elementary observations for the Stern-Brocot tree.

研究の動機と目的

• 1の下でのStern-Brocot列とFarey列の間の長年の分布的二分法を解消すること。
• 特定の標準的重み付けの下で、両列について重み付き経験測度が $[0,1]$ 上のLebesgue測度に弱収束することを確立すること。
• 連分数和レベル集合のLebesgue測度の漸近的結果と、モジュラー群のPoincaré級数との関係を導出すること。
• 無限エルゴディック理論を用いて、Fiala-Kleban予想（連分数和レベル集合の漸近的密度）の再証明を提供すること。

提案手法

• 無限エルゴディック理論とFarey写像 $ T $ の力学を用いて、$ T $ の反復適用による前像 $ T^{-n}(v/w) $ の分布を分析する。
• 弱極限 $ \ast\text{-lim}_{n\to\infty} \log(n^{vw}) \sum_{p/q \in T^{-n}\{v/w\}} q^{-2} \delta_{p/q} = \lambda $ を用いて、主な収束結果を導出する。
• Toeplitzの補題とLandauおよびMikolásによるオイラーのトーティエント関数に関する古典的結果を応用し、Farey列に対して $ \frac{\zeta(2)}{\log n} $ 正規化の下での収束を確立する。
• Stern-Brocot木の構造とFarey写像との関係を活用し、偶数番目のStern-Brocot列が一般の前像測度収束の特別な場合であることを示す。
• 測度の変動を直径制御と微分係数比を用いて推定する。$ \varepsilon $-近傍と上半平面における双曲的計量を用いる。
• 結果を $ \Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ の幾何的・代数的Poincaré級数に関連させ、語長と双曲的距離の和について $ \asymp $ の漸近的同等性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的重み付けの下で、偶数番目のStern-Brocot列とFarey列の重み付き経験測度は1の下でどのように振る舞うか？
• RQ2 連分数和レベル集合 $ \{[x_1,\dots,x_k] : \sum_{i=1}^k x_i = n\} $ のLebesgue測度の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 Fiala-Kleban予想（和レベル集合の密度）を無限エルゴディック理論を用いて再証明できるか？
• RQ4 モジュラー群 $ \Gamma $ のPoincaré級数の幾何的および代数的成長率の関係は何か？
• RQ5 Farey写像の力学は、重み付き前像測度の下で $[0,1]$ 内の有理点の分布をどのように支配するか？

主な発見

• 偶数番目のStern-Brocot列は $ \ast\text{-lim}_{n\to\infty} \log(n^2) \sum_{p/q \in \mathcal{S}_n} q^{-2} \delta_{p/q} = \lambda $ を満たし、$ q^{-2} $ 重み付けの下で一様分布が証明される。
• Farey列は $ \ast\text{-lim}_{n\to\infty} \frac{\zeta(2)}{\log n} \sum_{p/q \in \mathcal{F}_n} q^{-2} \delta_{p/q} = \lambda $ を満たし、$ \frac{\zeta(2)}{\log n} \cdot q^{-2} $ 正規化の下で一様分布が確立される。
• 集合 $ \{[x_1,\dots,x_k] : \sum_{i=1}^k x_i = n\} $ のLebesgue測度は漸近的に $ \sim \frac{1}{\log_2 n} $ であると示され、Fiala-Kleban予想が確認される。
• 幾何的Poincaré級数 $ \sum_{\gamma \in \Gamma, \, d(0,\gamma(0)) \leq n} e^{-d(0,\gamma(0))} \asymp n $ であるのに対し、代数的級数 $ \sum_{\gamma \in \Gamma, \, |\gamma| \leq n} e^{-d(0,\gamma(0))} \asymp \frac{n}{\log n} $ であるため、根本的な二分法が明らかになる。
• 一般の前像測度結果 $ \ast\text{-lim}_{n\to\infty} \log(n^{vw}) \sum_{p/q \in T^{-n}\{v/w\}} q^{-2} \delta_{p/q} = \lambda $ はすべての $ v/w \in (0,1] $ に対して成り立ち、2つの場合を統一する。
• 結果は無限エルゴディック理論を用いて導出され、主要な推定は有理点の $ \varepsilon $-近傍における微分係数比と直径制御に依存する。