[論文レビュー] A diffuse interface model for two-phase incompressible flows with nonlocal interactions and nonconstant mobility

Sergio Frigeri, Maurizio Grasselli+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2013

Solidification and crystal growth phenomena被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非一様なモビリティおよび特異的または多項式型ポテンシャルを有する非局所 Cahn-Hilliard 動的を伴う二相不可縮圧流体の拡散界面モデルに対して、グローバル弱解およびグローバルアトラクターの存在を確立する。解析は、2次元および3次元における非退化および退化するモビリティの場合をカバーし、エネルギー推定およびコンパクト性の議論を用いて、連立したナビエ＝ストークス方程式および非局所 Cahn-Hilliard 方程式系の解の存在および長期的挙動を証明する。

ABSTRACT

We consider a diffuse interface model for incompressible isothermal mixtures of two immiscible fluids with matched constant densities. This model consists of the Navier-Stokes system coupled with a convective nonlocal Cahn-Hilliard equation with non-constant mobility. We first prove the existence of a global weak solution in the case of non-degenerate mobilities and regular potentials of polynomial growth. Then we extend the result to degenerate mobilities and singular (e.g. logarithmic) potentials. In the latter case we also establish the existence of the global attractor in dimension two. Using a similar technique, we show that there is a global attractor for the convective nonlocal Cahn-Hilliard equation with degenerate mobility and singular potential in dimension three.

研究の動機と目的

• 非局所 Cahn-Hilliard 動的および非定数モビリティを有する二相不可縮圧流体の拡散界面モデルに対するグローバル弱解の存在を確立すること。
• 物理的に重要な相分離に対応する、退化するモビリティおよび特異的（対数的）ポテンシャルへの存在結果の拡張。
• 特異的ポテンシャルを有する系に対して、2次元におけるグローバルアトラクターの存在を証明し、長期的安定性および収束性を保証すること。
• 3次元における非局所 Cahn-Hilliard 方程式に非局所的対流項と退化モビリティを組み合わせた系に対して、グローバルアトラクター結果を拡張すること。
• 非局所相互作用に起因する ϕ の滑らかさの欠如という課題に直面し、ナビエ＝ストークス系における Korteweg 力の解析を複雑にする要因を扱うこと。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式と非定数モビリティを有する非局所 Cahn-Hilliard 方程式の結合された拡散界面モデルを定式化する。
• エネルギー推定および弱形式を用いて、濃度 ϕ および化学ポテンシャル µ の事前推定を導出する。
• ガラーキン近似における極限への移行を可能にするために、コンパクト性および単調性の議論を適用し、弱解の存在を証明する。
• 退化モビリティおよび特異的ポテンシャルを扱うために、Λ(s) = ∫₀ˢ m(σ)F′′(σ)dσ を含む非線形変換を用いる。
• Gronwall の補題およびエネルギー恒等式を用いて、適切な仮定の下で弱解の一意性を証明する。
• 局所モデルに関する先行研究の議論を非局所設定に適応し、非局所作用素 (J∗ϕ) および核 a(x) = ∫Ω J(x−y)dy の構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定数モビリティおよび特異的ポテンシャルを有する非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系に対して、グローバル弱解を確立できるか？
• RQ2 ポテンシャルが対数的でモビリティが退化する場合、2次元におけるこの系にグローバルアトラクターが存在するか？
• RQ3 モビリティが純粋相で退化する場合、解の正則性および長期的挙動特性はどのように規定されるか？
• RQ4 非局所相互作用項は、局所系と比較して弱解の存在および一意性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 3次元における非局所 Cahn-Hilliard 方程式に退化モビリティを組み合わせた系に対して、グローバルアトラクターを証明できるか？

主な発見

• 非退化モビリティおよび任意の多項式成長を示す正則的ポテンシャルを有する非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系に対して、グローバル弱解が存在する。
• 退化モビリティおよび特異的（対数的）ポテンシャルを有する系に対して、2次元におけるグローバルアトラクターの存在が確立された。
• 退化モビリティおよび特異的ポテンシャルを有する非局所 Cahn-Hilliard 方程式に非局所的対流項を加えた系に対して、3次元におけるグローバルアトラクターが存在する。
• 適切なモビリティおよびポテンシャルに関する仮定の下で、2次元における正則的および特異的ポテンシャルの両方に対して、弱解の一意性が証明された。
• 近似解に対してエネルギー恒等式が導出され、質量保存および自由エネルギーの散逸を保証する。
• グローバルアトラクターが連結であることが示され、非局所的および退化的設定におけるアトラクター構造に関する先行結果が拡張された。