[論文レビュー] A Direct Version of Veldman's Proof of Open Induction on Cantor Space via Delimited Control Operators

Danko Ilik, Keiko Nakata|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Matrix Theory and Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、区別可能な制御演算子（特に shift と reset）を用いて、コントール空間上のオープン帰納法の直接的構成的証明を提示する。制御演算子と高階型ヘイティング算術の公理を拡張した構成的論理において、証明を形式化することで、二重否定シフトの強化版がマーフォークの原理に依存せずにオープン帰納法を導出可能であることを示している。

ABSTRACT

First, we reconstruct Wim Veldman's result that Open Induction on Cantor space can be derived from Double-negation Shift and Markov's Principle. In doing this, we notice that one has to use a countable choice axiom in the proof and that Markov's Principle is replaceable by slightly strengthening the Double-negation Shift schema. We show that this strengthened version of Double-negation Shift can nonetheless be derived in a constructive intermediate logic based on delimited control operators, extended with axioms for higher-type Heyting Arithmetic. We formalize the argument and thus obtain a proof term that directly derives Open Induction on Cantor space by the shift and reset delimited control operators of Danvy and Filinski.

研究の動機と目的

• 区別可能な制御演算子を用いて、コントール空間上のオープン帰納法の直接的構成的証明を提供すること。
• ヴェルダマンの議論において、マーフォークの原理を強化された二重否定シフトスキーマで置き換えられることを示すこと。
• 区別可能な制御演算子と高階型ヘイティング算術に基づく構成的システムにおいて証明を形式化すること。
• オープン帰納法の証明項が、古典的原理に依存せずに、shift と reset を直接用いて導出可能であることを示すこと。

提案手法

• ヴェルダマンのコントール空間上のオープン帰納法の証明を、二重否定シフトとマーフォークの原理から再構成する。
• 元の証明で必要とされる可算選択公理（AC!0,B）の必要性を特定し、マーフォークの原理の代わりに強化された二重否定シフト（DNSS）を導入する。
• 区別可能な制御演算子（shift と reset）を組み込んだ論理的体系 MQC+(S) を用いて、強化された DNSS スキーマを導出する。
• 制御演算子と選択公理を拡張した高階型ヘイティング算術（HAω）の変種において証明を形式化する。
• コース・オブ・バリュー再帰と制御演算子によるケース分析を用いて、オープン帰納法の証明項を構築する。
• 論理的ケース分岐の処理に、論理和の消去と等価性の置換の証明項を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コントール空間上のオープン帰納法は、区別可能な制御演算子を備えた構成的論理から直接導出可能か？
• RQ2 ヴェルダマンのオープン帰納法の証明において、マーフォークの原理は必須か、それともより強いスキーマに置き換え可能か？
• RQ3 古典的選択原理に依存せずに、shift と reset 演算子を用いてオープン帰納法の証明項を構築可能か？
• RQ4 可算選択公理 AC!0,B は、制御演算子に基づくシステムに形式的に統合可能か？
• RQ5 このようなシステムにおける、オープン帰納法の証明項の計算的挙動はいかなるものか？

主な発見

• マーフォークの原理を明示的に用いずに、shift と reset 制御演算子のみを用いて、コントール空間上のオープン帰納法の直接的証明が達成された。
• 証明により、マーフォークの原理は強化された二重否定シフトスキーマ（DNSS）に置き換え可能であり、これは構成的体系 MQC+(S) で導出可能であることが示された。
• オープン帰納法の証明項は、制御演算子と可算選択公理 AC!0,B を拡張した HAω の変種において形式的に構築された。
• 体系 MQC+(S) は、強化された DNSS スキーマを導出可能であり、これにより古典的推論を回避した証明が可能である。
• オープン帰納法の証明項は、コース・オブ・バリュー再帰と論理和の証明項によるケース分析を用いて、ストリーム α の再帰的構築を含む。
• 証明項の計算的解釈は、現在のシステムにおいて AC!0,B の形式的証明項が存在しないことから、制限を受けることが示唆され、拡張の必要性が示された。