[論文レビュー] A Discrete Adapted Hierarchical Basis Solver For Radial Basis Function Interpolation

Julio E. Castrillón-Candás, Jun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Numerical methods in engineering参考文献 63被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、変動する多項式次数を伴う効率的な径数基底関数（RBF）補間のための離散的でノードおよびカーネルに適応した階層的基底（HB）を導入する。多項式成分とRBF成分を直交的HBを介して分離することで、対角またはブロックSSORの前処理を施したGMRESを用いた高速な解法が可能となり、O(N^1.6)の時間計算量を達成し、標準的手法と比較して顕著にメモリ使用量を削減する。

ABSTRACT

In this paper we develop a discrete Hierarchical Basis (HB) to efficiently solve the Radial Basis Function (RBF) interpolation problem with variable polynomial order. The HB forms an orthogonal set and is adapted to the kernel seed function and the placement of the interpolation nodes. Moreover, this basis is orthogonal to a set of polynomials up to a given order defined on the interpolating nodes. We are thus able to decouple the RBF interpolation problem for any order of the polynomial interpolation and solve it in two steps: (1) The polynomial orthogonal RBF interpolation problem is efficiently solved in the transformed HB basis with a GMRES iteration and a diagonal, or block SSOR preconditioner. (2) The residual is then projected onto an orthonormal polynomial basis. We apply our approach on several test cases to study its effectiveness, including an application to the Best Linear Unbiased Estimator regression problem.

研究の動機と目的

• RBF補間における高い計算コストと悪条件性、特に変動する多項式次数を伴う大規模問題に対して、これを解決すること。
• 補間システムにおける多項式成分とRBF成分を分離する安定的でメモリ効率の良いソルバの開発。
• 高次多項式項を含むRBF問題に高速反復ソルバを拡張し、科学計算および統計分野における広範な応用を可能にすること。
• RBF補間、積分方程式、一般化最小二乗法（GLSQ）との関連を活用し、数値的安定性と効率性を向上させること。
• 空間的に変化するカーネルや複雑な幾何構造に対してもスケーラブルなRBF補間を可能にするため、適応的基底構築による拡張。

提案手法

• RBFカーネルおよび補間ノードの分布に適応した離散的で直交的な階層的基底（HB）を構築する。
• HB基底においてRBF補間問題を定式化し、多項式成分とRBF成分を独立した2つの部分問題に分離する。
• HBの直交性を活用して、変換されたシステムに対して対角またはブロックSSORの前処理を施したGMRES反復ソルバを適用し、収束を高速化する。
• RBF成分の解を解いた後、残差を正規直交多項式基底に射影することで、完全な解を回復する。
• マルチスケール構造を用いて高速かつ適応的な対角前処理を計算し、メモリ使用量をO(N)に削減し、スケーラビリティを向上させる。
• HBのマルチスケール性と空間的適応性を活用して、RBF行列のスパース化と効率的な行列-ベクトル積を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式成分とRBF成分を分離できるような、離散的でノードに適応した階層的基底を構築可能か？
• RQ2 このような基底の使用が、変動する多項式次数を伴うRBF問題におけるGMRES反復の収束速度とメモリ使用量の削減に寄与するか？
• RQ3 多項式次数が可変なRBF問題において、近似的に最適な計算量（例：O(N^1.6)）を達成しながら、小さな形状パラメータを有する多分岐関数のような悪条件性を持つRBFでも高い精度を維持できるか？
• RQ4 異なるノード分布やRBFタイプにおいて、対角前処理とSSORの反復回数および時間計算量の性能を比較すると、どのような差が生じるか？
• RQ5 HBフレームワークは、空間的に変化するか異方的RBFカーネルへまでどの程度拡張可能か？

主な発見

• 提案された離散的HBソルバは、双曲的RBFに対して合計時間計算量O(N^1.6)を達成し、直接ソルバのO(N^3)コストと比較して顕著に改善された。
• 対角前処理は、SSORのO(N^2)と比較して、O(N)までメモリ使用量を削減しながらも、高速な収束を維持している。
• δ = 0.01の多分岐関数RBFに対しては、GMRESの反復回数がO(N^0.7)の成長を示し、悪条件性があるにもかかわらず強力なスケーラビリティを示している。
• SSOR前処理と比較して、合計ソルブ時間は最大50％短縮され、特に大規模問題において対角前処理が極めて効率的であることが示された。
• 多分岐関数や逆多分岐関数のような悪条件性を持つRBFに対しても、高い精度と安定性を達成しており、逆多分岐関数は条件数が低く、定数もより良好である。
• 高次元および空間的に変化するカーネル問題への応用についても、予備的結果から行列のスパース化が効果的に実現され、解の精度が保持されていることから、前向きな成果が得られている。