[論文レビュー] A Discrete Evolution Formulation of the Spin Foam Models of BF theory and gravity

Suresh K Maran|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、BF理論および重力のスピンフォーム模型とその正準量子重力対応物を結ぶ離散的進化形式を提示する。n次元の単体的多様体を葉巣に分け、その葉巣に双対するスピンネットワーク汎関数を導出し、離散接続およびスピンネットワークの両画像における遷移振幅を定式化する。これにより、スピンフォームと正準的手法の間で近似を伴わず、非摂動的な接続が得られ、2次元BF理論における明示的計算を伴う。

ABSTRACT

In this article a discrete evolution formulation of the spin foam models of gravity and BF theory is presented. This work motivated by a desire to relate spin foams to their canonical formulation. We have tried to make this article as self-contained as possible. First the derivation of the spin foam model of BF theory from the discrete BF theory action in n dimensions is reviewed brielfy. By foliating the underlying n dimensional simplicial manifold using the n − 1 dimensional simplicial hypersurfaces, the spin foam model is reformulated. Then it is shown that spin network functionals arise naturally on the foliations. The graphs of these spin network functionals are dual to the triangulations of the foliating hypersurfaces. A transition amplitude is defined in a discrete connection picture using path integral formulation. An elementary transition amplitude is defined in the spin-network picture. We calculate the elementary transition amplitudes in 2D BF theory explicitly. The application to the spin foam models of gravity is discussed briefly. The main result is that, we formulate an approach that is intermediate between the canonical and the spin foam formulations. We believe our formulation brings the spin foam models as close as possible to the canonical quantum formulation without introducing any approximations.

研究の動機と目的

• スピンフォーム模型と正準量子重力形式との間の直接的な接続を確立すること。
• 正準的手法と比較して、スピンフォーム模型に明確な動的進化像が欠如している問題を解決すること。
• 単体的多様体の離散的葉巣を用いてスピンフォーム振幅を再定式化すること。
• スピンネットワーク汎関数が葉巣面上で自然に出現することを示すこと。
• 両者の形式の主要な特徴を統合する非近似的中間的定式化を提供すること。

提案手法

• n次元単体的多様体を(n−1)次元の葉巣に分け、離散的な時間的構造を導入する。
• n次元における離散的BF作用からBF理論のスピンフォーム模型を導出する。
• 葉巣の三角形分割と双対的なグラフを持つスピンネットワーク汎関数を構成する。
• 経路積分形式を用いて離散接続画像における遷移振幅を定義する。
• スピンネットワーク表現における基本的遷移振幅を導入する。
• 2次元BF理論における基本的遷移振幅を明示的に計算し、フレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてスピンフォーム模型を、正準量子重力に類似した離散的進化像を反映する形に再定式化できるか？
• RQ2 葉巣を施した単体的多様体の文脈において、スピンネットワーク汎関数の幾何学的および代数的役割は何か？
• RQ3 離散接続画像における遷移振幅とスピンネットワーク表現におけるそれらの関係は何か？
• RQ4 スピンフォーム形式を摂動的でなく、近似を伴わず、正準構造と整合的であるようにできるか？
• RQ5 この新しい定式化下で、2次元BF理論における基本的遷移振幅の明示的形は何か？

主な発見

• スピンネットワーク汎関数が葉巣面上に自然に出現し、そのグラフがこれらの表面の三角形分割と双対的である。
• 離散的進化形式により、近似を導入せず、スピンフォーム模型と正準量子重力の間の接続が成功裏に確立された。
• 2次元BF理論における基本的遷移振幅が明示的に計算され、提案されたフレームワークと整合的であることが確認された。
• スピンネットワーク画像における遷移振幅が導出され、2次元の場合に離散接続形式と等価であることが示された。
• 本手法により、正準およびスピンフォーム形式の主要な側面を統合する非摂動的中間的定式化が得られた。
• 葉巣と三角形分割の双対性を通じて、スピンフォーム振幅の明確な幾何的および動的解釈がフレームワークによって提供された。