[論文レビュー] A Double Bicategory of Cobordisms With Corners

Jeffrey C. Morton|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、余帰着を伴う双対コスパンを用いて、押し出しを備えた圏における双対コスパンを用いて、コーナーを持つコボルディズムのヴェリティ2-圏を構成し、合成が coherent な同型に関して結合的かつ単位的である弱い2-圏的構造を確立する。主な貢献は、同型類のコスパンを用いて拡張された位相的場の理論をモデル化する体系的な構成であり、弱い立方体的高次圏の基礎的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Interest in weak cubical n-categories arises in various contexts, in particular in topological field theories. In this paper, we describe a concept of bicategory, namely a strict model of the theory of bicategories in Bicat. We show that in a special case one can reduce this to what we call a Verity bicategory, after Domenic Verity. This is a weakened version of a category, in the sense that composition in both horizontal and vertical directions satisfy associativity and unit laws only up to (coherent) isomorphisms. We prove that there are examples in the form of bicategories of double cospans (or double spans) in any category with pushouts (pullbacks, respectively), and give a construction from this which involves taking isomorphism classes of objects, and gives a Verity bicategory of cospans. We describe cobordisms with corners as an example of this construction.

研究の動機と目的

• 2-圏 Bicat 内で2-圏の厳密なモデルを構築し、弱い高次構造における整合性を扱う。
• 合成が coherent な同型に関してのみ結合的かつ単位的である弱く一般化された圏的枠組みとしてヴェリティ2-圏を導入する。
• 押し出しを備えた圏における二重コスパンが、対象の同型類を介して自然にヴェリティ2-圏を生じることを示す。
• この構成をコーナーを持つコボルディズムに適用し、それらが定義された構造のもとでヴェリティ2-圏として実現されることを示す。
• 弱い立方体的 n-圏を用いて、拡張された位相的場の理論の圏的基盤を提供する。

提案手法

• 整合性を制御するように、Bicat 内で2-圏の厳密なモデルを定義し、2-圏の理論を形式化する。
• 合成が coherent な同型に関して定義される弱く一般化された圏的構造としてヴェリティ2-圏を導入する。
• 押し出しを備えた圏における二重コスパンを構成し、スパンとコスパンを用いてコーナーを持つコボルディズムをモデル化する。
• 二重コスパン構成における対象の同型類をとることで、合成と整合性のwell-defined性を保証する。
• 構成をコーナーを持つコボルディズムに適用し、それらが定義された構造のもとでヴェリティ2-圏をなすことを示す。
• 結合的および単位的法則が coherent な同型に関して満たされることを検証し、ヴェリティの弱い2-圏の公理を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 押し出しを備えた圏における二重コスパンから、どのようにヴェリティ2-圏を構成できるか？
• RQ2 コーナーを持つコボルディズムの合成が同型に関して整合的であるために満たすべき条件は何か？
• RQ3 コーナーを持つコボルディズムの圏は、二重コスパンの同型類を介して自然にヴェリティ2-圏としてモデル化可能か？
• RQ4 押し出しを備えた圏における二重コスパン構成は、どのように弱い2-圏的構造を生じるか？
• RQ5 同型類は、コーナーを持つコボルディズムの2-圏的構造の安定化において果たす役割は何か？

主な発見

• 押し出しを備えた圏における二重コスパンの構成は、対象の同型類をとることでヴェリティ2-圏を生じる。
• コーナーを持つコボルディズムは、二重コスパン構成を通じてヴェリティ2-圏をなすことが示された。
• 2-圏における結合的および単位的法則は、coherent な同型に関して満たされ、ヴェリティの弱い2-圏の条件を満たす。
• 同型類の使用により、合成のwell-defined性と2-圏的構造の安定性が保証された。
• この枠組みは、拡張された位相的場の理論に関連する弱い立方体的 n-圏の体系的モデルを提供する。