[論文レビュー] A Dynamic Mode Decomposition Extension for the Forecasting of Parametric Dynamical Systems

Francesco Andreuzzi, Nicola Demo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、次元削減のための固有直交分解（POD）と、未検証パラメータおよび将来の時刻におけるシステム状態を予測する回帰を組み合わせることで、パラメトリックな力学系の予測を目的とした、動的モード分解（DMD）のデータ駆動型拡張を提案する。この手法は、モデル方程式を必要とせず、オフライン・オンラインフレームワークにおいて正確で低コストの予測を達成し、線形系、熱伝導系、流体動力学系の問題において有効性を示している。

ABSTRACT

Dynamic mode decomposition (DMD) has recently become a popular tool for the non-intrusive analysis of dynamical systems. Exploiting Proper Orthogonal Decomposition (POD) as a dimensionality reduction technique, DMD is able to approximate a dynamical system as a sum of spatial basis evolving linearly in time, thus enabling a better understanding of the physical phenomena and forecasting of future time instants. In this work we propose an extension of DMD to parameterized dynamical systems, focusing on the future forecasting of the output of interest in a parametric context. Initially all the snapshots -- for different parameters and different time instants -- are projected to a reduced space; then DMD, or one of its variants, is employed to approximate reduced snapshots for future time instants. Exploiting the low dimension of the reduced space the predicted reduced snapshots are then combined using regression techniques, thus enabling the possibility to approximate any untested parametric configuration in future. This paper depicts in detail the algorithmic core of this method; we also present and discuss three test cases for our algorithm: a simple dynamical system with a linear parameter dependency, a heat problem with nonlinear parameter dependency and a fluid dynamics problem with nonlinear parameter dependency.

研究の動機と目的

• 未検証のパラメータおよび将来の時刻におけるパラメトリック力学系のベクトル場の正確な予測を可能にすること。
• DMDフレームワークをパrameter依存系に対応させる一方で、そのデータ駆動的・非侵襲的な性質を維持すること。
• 低次元モデル化と低次元空間における回帰を活用することで、リアルタイムまたは反復的シミュレーションにおける計算コストを低減すること。
• 問題固有の知識を用いてDMD作用素を安定化させ、長期予測の精度を向上させること。
• 元のモデルの支配方程式に依存せず、高精度なスナップショットとパラメータのみに依存するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 異なるパラメータと時刻における高精度スナップショットを、固有直交分解（POD）を用いて低次元空間に射影する。
• 低次元スナップショットにDMDを適用し、すべてのテスト済みパラメータについて、将来の時刻ステップにおけるその変化を予測する。
• 回帰手法を用いて、未検証のパrametricな設定における予測された低次元スナップショットを補間し、一般化を可能にする。
• 回帰で予測された低次元係数とPOD基底行列を組み合わせることで、フルオーダー解を再構成する。
• 問題固有の知識を用いてDMD作用素を安定化させ、長期予測の精度を向上させ、誤差の増大を低減する。
• 一括処理（すべてのパラメータを一度に）と分割処理（パラメータをグループ化して）の2つのアプローチを実装し、ロバストネスと精度のトレードオフを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DMDは、未検証のパラメータおよび将来の時刻におけるパラメトリック力学系の予測に効果的に拡張可能か？
• RQ2 提案手法の精度は、PODモード数と回帰戦略にどのように依存するか？
• RQ3 問題固有のDMD作用素の安定化は、標準DMDと比較して長期予測性能を向上させられるか？
• RQ4 一括処理と分割処理の回帰アプローチは、パラメトリック系における精度と一般化能力の観点でどのように比較されるか？
• RQ5 非線形的パラメータ依存性を示す複雑な系、例えばナビエ-ストークス流れに対して、この手法はどの程度一般化可能か？

主な発見

• 円柱流れ問題の尾流領域では、妥当な点ごとの誤差が達成されており、円柱付近では誤差が小さく、下流壁に向かって誤差が増大している。これはPODモード数が限られているためである。
• 熱伝導問題では、パラメトリック多様体の安定した近似が得られており、次元が高くなると回帰の不正確さにより誤差が増大している。
• 最初の3つのPODモードは、パrameter範囲全体で支配的構造を捉えており、低パラメータでは定常モードが、高パラメータでは波動的モードが顕在している。
• 一括回帰アプローチは、一般に分割アプローチを上回る精度を示しているが、パラメータのクラスタリング状況に応じて両者とも有効である。
• 提案されたDMD作用素の安定化は、特に長期予測において標準DMDと比較して、より高い予測精度を実現している。
• 本手法はオンライン段階においてロバストで計算コストが低いため、リアルタイムまたは反復的応用に適している。