[論文レビュー] A factorization theorem for affine Kazhdan-Lusztig basis elements

Jonah Blasiak|ArXiv.org|Aug 3, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、拡張アフィンヘッケ代数における最低の二面的セル $ W_{(\nu)} $ に関連する canonical basis 要素 $ C'_w $ の因数分解公式を確立する。各要素は、原始的要素とバーナイン生成子における対称多項式を含む積として表現される。主な結果は、有限個の canonical basis 要素と可約表現のキャラクターのみを用いて、この基底要素の組み合わせ的に明確なパrametrization を与える。

ABSTRACT

The lowest two-sided cell of the extended affine Weyl group $W_e$ is the set $\{w \in W_e: w = x \cdot w_0 \cdot z, ext{for some} x,z \in W_e\}$, denoted $W_{(ν)}$. We prove that for any $w \in W_{(ν)}$, the canonical basis element $\C_w$ can be expressed as $\frac{1}{[n]!} χ_λ({\y}) \C_{v_1 w_0} \C_{w_0 v_2}$, where $χ_λ({\y})$ is the character of the irreducible representation of highest weight $λ$ in the Bernstein generators, and $v_1$ and $v_2^{-1}$ are what we call primitive elements. Primitive elements are naturally in bijection with elements of the finite Weyl group $W_f \subseteq W_e$, thus this theorem gives an expression for any $\C_w$, $w \in W_{(ν)}$ in terms of only finitely many canonical basis elements. After completing this paper, we realized that this result was first proved by Xi in \cite{X}. The proof given here is significantly different and somewhat longer than Xi's, however our proof has the advantage of being mostly self-contained, while Xi's makes use of results of Lusztig from \cite{L Jantzen} and Cells in affine Weyl groups I-IV and the positivity of Kazhdan-Lusztig coefficients.

研究の動機と目的

• 拡張アフィンワイル群の最低の二面的セル $ W_{(\nu)} $ に属する $ w $ について、canonical basis 要素 $ C'_w $ の組み合わせ的かつ代数的記述を提供すること。
• これらの基底要素を有限個の canonical basis 要素と対称多項式を用いて表現することで、より明確な構造を実現すること。
• ルシュツィグのセルと正則性に関する深遠な結果に依存せず、Xi が以前に確立した結果を異なる手法を用いて自己完結的に再証明すること。
• q-アナログの余不変環の構成の基盤を築くこと。

提案手法

• 拡張アフィンワイル群 $ W_e $、そのヘッケ代数 $ \mathscr{H}(W_e) $、およびバーナイン提示（生成子と関係式）を導入し、代数の構造を定義する。
• 原始的要素を定義し、これは有限ワイル群 $ W_f \subseteq W_e $ の要素と自然な同一視があることを示し、因数分解の基本構成要素として用いる。
• ヘッケ代数の canonical basis $ \{C'_w\} $ を用い、$ w \in W_{(\nu)} $ に対して $ C'_w $ を $ C'_{v_1 w_0} $、$ C'_{w_0 v_2} $、および最高重量表現のキャラクター $ \chi_\lambda(Y) $ を含む積として表現する。
• カジマラ・ルシュツィグ多項式および $ \overleftarrow{P}_{x,v_1} $、$ \overrightarrow{P}_{z,v_2} $ 多項式の性質を用い、$ q $-adic ラティス $ \mathscr{L} $ における次数と整数性を制御する。
• 既約因子分解とルート系の幾何学（例えば、ワイルチャネルやルート超平面）を用いて、ヘッケ代数内の積の構造を分析する。
• 積展開における係数が $ q^{1/2} $ の多項式で、非負の係数を持つことを利用して、$ q $-adic 濃度を制御し、整数性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ w \in W_{(\nu)} $ に対して、canonical basis 要素 $ C'_w $ は、有限個の canonical basis 要素とバーナイン生成子における対称関数を用いて表現可能か？
• RQ2 拡張アフィンワイル群における最低の二面的セル $ W_{(\nu)} $ の正確な代数的構造は何か？
• RQ3 原始的要素と表現論的データ $ \chi_\lambda(Y) $ を用いて、このセル内の canonical basis 要素はどのように因数分解可能か？
• RQ4 ルシュツィグのセルと正則性に関する深遠な結果に依存せず、この因数分解を自己完結的に証明できるか？
• RQ5 この因数分解は、A型を超えた他のセルや他の型へ一般化可能か？

主な発見

• 任意の $ w \in W_{(\nu)} $ に対して、canonical basis 要素 $ C'_w $ は $ \frac{1}{[n]!} \chi_\lambda(Y) C'_{v_1 w_0} C'_{w_0 v_2} $ の形に因数分解可能であり、ここで $ v_1, v_2^{-1} $ は原始的要素である。
• 原始的要素は有限ワイル群 $ W_f $ の要素と自然な同一視があるため、$ C'_w $ の記述は有限個の canonical basis 要素に還元される。
• キャラクター $ \chi_\lambda(Y) $ は、バーナイン生成子における最高重量 $ \lambda $ の可約表現から生じる。これにより、表現論とヘッケ代数の構造が結びつけられる。
• 証明は自己完結的であり、ルシュツィグのセルと正則性に関する結果に依存せず、Xi の以前の証明とは異なった手法を用いる。
• 因数分解により、すべての項が $ q^{-1/2} $-adic ラティス $ \mathscr{L} $ に属することが保証され、整数性が確認され、q-アナログの余不変環の構成を支援する。
• この手法は、他の型における q-アナログの余不変環を構成するためのフレームワークを提供するが、この応用には定理の全貌は必要とされない。