[論文レビュー] A family of natural equilibrium measures for Sinai billiard flows

Jérôme Carrand|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2022

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、有限ホライズンをもつ2次元トーラス上のシナイト・ビリヤード流れに対して、連続的でないビリヤード写像 T の平衡状態と関連付けることで、自然な平衡測度の族を確立する。アニュスティックバナッハ空間上の転送作用素を用いて、やや弱い条件を満たす区分的 Hölder 確率関数に対して、平衡状態が一意的で、Bernoulli 性をもち、T に適した性質を持ち、全空間に正の測度を割り当てる、と証明する。対応する流れ不変測度は、Bernoulli 性をもち、流れに適した性質を持つことが示され、最大エントロピー測度や幾何的ポテンシャルに対する結果が拡張される。

ABSTRACT

The Sinai billiard flow on the two-torus, i.e., the periodic Lorentz gas, is a continuous flow, but it is not everywhere differentiable. Assuming finite horizon, we relate the equilibrium states of the flow with those of the Sinai billiard map $T$ -- which is a discontinuous map. We propose a definition for the topological pressure $P_*(T,g)$ associated to a potential $g$. We prove that for any piecewise H\"older potential $g$ satisfying a mild assumption, $P_*(T,g)$ is equal to the definitions of Bowen using spanning or separating sets. We give sufficient conditions under which a potential gives rise to equilibrium states for the Sinai billiard map. We prove that in this case the equilibrium state $\mu_g$ is unique, Bernoulli, adapted and gives positive measure to all nonempty open sets. For this, we make use of a well chosen transfer operator acting on anisotropic Banach spaces, and construct the measure by pairing its maximal eigenvectors. Last, we prove that the flow invariant probability measure $\bar \mu_g$, obtained by taking the product of $\mu_g$ with the Lebesgue measure along orbits, is Bernoulli and flow adapted. We give examples of billiard tables for which there exists an open set of potentials satisfying those sufficient conditions.

研究の動機と目的

• 区分的 Hölder 確率関数に対するやや弱い条件の下で、シナイト・ビリヤード流れの平衡状態の存在と一意性を確立すること。
• 連続的流れ ϕt と不連続ビリヤード写像 T の平衡状態を、自然な上昇構成によって結びつけること。
• 得られた流れ不変測度 ¯µg が Bernoulli 性をもち、流れに適した性質を持つことを証明し、流れのヤコビアンの対数の可積分性を保証すること。
• 幾何的ポテンシャル（例：−t log JuT）の理論を超えて、より広いクラスのポテンシャルへと平衡状態の理論を拡張すること。

提案手法

• 不連続写像 T に対して、被覆集合または分離集合を用いた位相的圧力 P∗(T, g) を定義し、やや弱い仮定の下で、Bowen の定義と同等であることを証明する。
• 適切に選ばれた転送作用素を、アニュスティックバナッハ空間上で作用させ、最大固有ベクトルを構成し、それらをペairing して平衡状態 µg を定義する。
• 平衡状態 µg が一意的で、Bernoulli 性をもち、T に適した性質を持ち、すべての空でない開集合に正の測度を割り当てる、ことを証明する。
• µg を軌道に沿ったルベーグ測度との積として流れに上昇させ、流れ不変測度 ¯µg を得る。
• 流れの微分の対数の可積分性を検証することで、¯µg が Bernoulli 性をもち、流れに適した性質を持つことを示す。
• ポテンシャル g = −htop(ϕ1)τ が、流れの最大エントロピー測度に対応し、T の平衡状態と一対一対応することを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的 Hölder 確率関数 g がどのような条件下で、シナイト・ビリヤード写像 T に平衡状態をもつのか。
• RQ2 アニュスティックバナッハ空間上の転送作用素を用いて、T の平衡状態 µg を一意的に構成し、それが Bernoulli 性と T に適した性質を持つことを示せるか。
• RQ3 µg を流れに上昇させることで得られる流れ不変測度 ¯µg は、Bernoulli 性と流れに適した性質を持つだろうか。
• RQ4 十分条件を満たすポテンシャルの集合が、一般のビリヤードテーブルの空間において、ある開集合を含むだろうか。
• RQ5 T の平衡状態は、流れ ϕt の最大エントロピー測度とどのように関係するのか。

主な発見

• 任意の区分的 Hölder 確率関数 g がやや弱い仮定を満たす限り、位相的圧力 P∗(T, g) は、被覆集合または分離集合によるBowenの定義と一致する。
• 写像 T の平衡状態 µg は一意的で、Bernoulli 性をもち、T に適した性質を持ち、すべての空でない開集合に正の測度を割り当てる。
• µg を軌道に沿ったルベーグ測度との積として上昇させることで得られる流れ不変測度 ¯µg は、Bernoulli 性をもち、流れに適した性質を持つ。
• ポテンシャル g = −htop(ϕ1)τ は、T の平衡状態が流れ ϕt の最大エントロピー測度と一対一対応することを示す。
• 一般のビリヤードテーブルのクラスに対して、十分条件を満たすポテンシャルの開集合が存在し、その結果、このような平衡状態の存在が保証される。