[論文レビュー] A Fast Algorithm for Solving Scalar Wave Scattering Problem by Billions of Particles

А. Г. Рамм, Nhan Tran|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

本論文は、FFT（高速フーリエ変換）とCOCG（共役直交共役勾配法）を組み合わせた新規な手法を用いて、最大100億個の小さなインピーダンス粒子によるスカラー波の散乱を高速かつスケーラブルに解くアルゴリズムを提示する。この手法により、10^10個の粒子に対する波の散乱の初めての数値的解法が達成され、粒子の配置とインピーダンスの制御によって、負の屈折率を含む所望の屈折率を持つ材料の設計が可能であることが示された。

ABSTRACT

Scalar wave scattering by many small particles of arbitrary shapes with impedance boundary condition is studied. The problem is solved asymptotically and numerically under the assumptions a << d << lambda, where k = 2pi/lambda is the wave number, lambda is the wave length, a is the characteristic size of the particles, and d is the smallest distance between neighboring particles. A fast algorithm for solving this wave scattering problem by billions of particles is presented. The algorithm comprises the derivation of the (ORI) linear system and makes use of Conjugate Orthogonal Conjugate Gradient method and Fast Fourier Transform. Numerical solutions of the scalar wave scattering problem with 1, 4, 7, and 10 billions of small impedance particles are achieved for the first time. In these numerical examples, the problem of creating a material with negative refraction coefficient is also described and a recipe for creating materials with a desired refraction coefficient is tested.

研究の動機と目的

• 数十億個の小さなインピーダンス粒子を含むスカラー波の散乱問題を、計算的に効率よく解く手法の開発。
• 従来の手法では計算が非現実的である大規模な波の散乱問題を克服すること。
• 小さな粒子を所定の境界インピーダンスを持つように配置することで、所望の有効屈折率（負値を含む）を持つ材料の数値的設計を可能にすること。
• 高性能並列計算を用いて、10^10個の粒子による波の散乱の初めての数値的解法を実証すること。

提案手法

• 粒子サイズ $a$、粒子間隔 $d$、波長 $\lambda$ の間に $a \ll d \ll \lambda$ の関係が成り立つ条件下で、任意の形状をした多数の小さなインピーダンス粒子の波の散乱に関する漸近理論に基づく。
• 粒子間の有効場の相互作用を捉えるために、(ORI)定式化を用いて散乱問題を線形方程式系に定式化する。
• 大規模かつスパースな線形方程式系を効率的に解くために、共役直交共役勾配（COCG）反復法を用いる。
• COCG反復における行列-ベクトル積の計算を高速化するために、高速フーリエ変換（FFT）を採用し、計算複雑度を低減する。
• GordonスパコンをXSEDE経由で並列処理に活用し、最大10^10個の粒子を含むシミュレーションを実現。
• 10億、40億、70億、100億個の粒子を用いた数値例を通じて、収束性とスケーラビリティを検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 100億個の小さなインピーダンス粒子による波の散乱を、スケーラブルで高速なアルゴリズムを用いて数値的に解くことは可能か？
• RQ2 特定の境界インピーダンスを持つ小さな粒子を配置することで、複合材料の有効屈折率をどのように制御できるか？
• RQ3 数十億個の粒子を含む散乱問題から生じる線形方程式系を効率的に扱うために必要な計算技術は何か？
• RQ4 本手法は、100万個を超える極めて多数の粒子数にまでスケーリング可能か？
• RQ5 本アルゴリズムを用いて、負の有効屈折率を持つ材料を設計できるか？

主な発見

• 10^10個の小さなインピーダンス粒子によるスカラー波の散乱の、初めての数値的解法が達成され、計算波物理学分野における重要なマイルストーンとなった。
• Gordonスパコンにおける並列計算を活用し、10億、40億、70億、100億個の粒子を含む問題を成功裏に解いた。
• 小さなインピーダンス粒子が散乱する有効場のスケーリングは $O(a^{2-\kappa})$（$\kappa \in [0,1)$）であり、レイリー散乱の $O(a^3)$ よりも顕著に大きい。これにより、より強い相互作用効果が可能となる。
• 粒子の境界インピーダンス $\zeta = h a^{-\kappa}$ を調整することで、所望の有効屈折率（負値を含む）を持つ材料の設計が可能である。
• FFTとCOCGの併用により、計算コストが著しく低減され、数十億個の粒子を含むシミュレーションが現実可能となった。直接法と比較して、合計演算回数が大幅に削減された。
• 数値結果は、粒子の配置とインピーダンスを制御することで、任意の屈折率を持つ材料を設計可能であるという理論的予測を裏付けた。