[論文レビュー] A faster calculation of Franck-Condon factors and Fock matrix elements of Gaussian unitaries using loop hafnians

Nicolás Quesada|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2018

Quantum and electron transport phenomena被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、P = N + M 頂点を持つ重み付きグラフ上のループ・ハフニアン計算に再定式化することで、フランク＝コンドン因子（FCFs）およびボソン的ガウスユニタリ行列要素の計算を高速化する新規手法を提案する。このアプローチにより、計算複雑性が O(P³2^{P/2}) に低下し、モードあたりの振動クーラ数が少ない系では顕著な高速化が達成される。これにより、量子化学、量子光学、グラフ理論が統一的な数学的枠組みを通じて結びつけられる。

ABSTRACT

We show that the Franck-Condon Factor (FCF) associated to a transition between initial and final vibrational states in two different potential energy surfaces, having $N$ and $M$ vibrational quanta, respectively, is equivalent to calculating the number of perfect matchings of a weighted graph with loops that has $P = N+M$ vertices. This last quantity is the loop hafnian of the (symmetric) adjacency matrix of the graph which can be calculated in $O(P^3 2^{P/2})$ steps. In the limit of small numbers of vibrational quanta per normal mode our loop hafnian formula significantly improves the speed at which FCFs can be calculated. Our results more generally apply to the calculation of the matrix elements of a bosonic Gaussian unitary between two multimode Fock states having $N$ and $M$ photons in total and provide a useful link between certain calculations of quantum chemistry, quantum optics and graph theory.

研究の動機と目的

• N および M 個の振動クーラ数を含む分子遷移におけるフランク＝コンドン因子（FCFs）の計算をより高速化するための計算手法を開発すること。
• ボソン的ガウスユニタリの行列要素を、N および M 個の全光子数を持つマルチモードフォック状態間で一般化して計算する手法を展開すること。
• 量子化学／量子光学の計算と、ループ・ハフニアンなどのグラフ理論的概念との間の正式な接続を確立すること。
• 低振動クーラ数の系において、FCF 計算の計算コストを指数的スケーリングから O(P³2^{P/2}) に低減すること。

提案手法

• N および M 個のクーラ数を有する2つの振動状態間の FCF は、P = N + M 頂点を持つループ付きの重み付きグラフにおける完全マッチングの数に写像される。
• 完全マッチングの数は、そのグラフの対称隣接行列のループ・ハフニアンとして計算される。
• 時間計算量が O(P³2^{P/2}) のアルゴリズムを用いてループ・ハフニアンが評価され、P が小さい場合に従来手法よりも効率的である。
• この手法は、N および M 個の光子を有するフォック状態間でのボソン的ガウスユニタリの行列要素の計算に一般化して適用可能である。
• ガウス状態およびフォック状態の対称性と組合せ的性質を活用することで、計算を効率化する。
• 共有される数学的構造を通じて、量子化学、量子光学、グラフ理論の計算が統一的な枠組みで結びつけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フランク＝コンドン因子の計算をグラフ理論的概念を用いて再定式化することで、より高速な評価が可能になるか？
• RQ2 従来手法と比較して、ループ・ハフニアンを用いた FCF 計算の計算複雑性はどの程度か？
• RQ3 提案手法のスケーリング特性は、初期状態および最終状態の振動クーラ数にどのように依存するか？
• RQ4 ループ・ハフニアンの定式化は、ボソン的ガウスユニタリの行列要素にどの程度一般化可能か？
• RQ5 モードあたりの振動クーラ数が少ない系において、このアプローチが実際どれほど高速化をもたらすか？

主な発見

• N および M 個のクーラ数を有する振動状態間のフランク＝コンドン因子は、P = N + M 頂点を持つグラフの対称隣接行列のループ・ハフニアンを計算することに等しい。
• ループ・ハフニアンの計算により、時間計算量が O(P³2^{P/2}) に達成され、P が小さい場合に従来手法よりも顕著に高速化される。
• 本手法は、量子化学における FCF と量子光学におけるボソン的ガウスユニタリの行列要素の両方へ適用可能な統一的フレームワークを提供する。
• 本手法は、量子力学的遷移振幅とループ付き重み付きグラフにおける完全マッチングとの間の深い数学的関係を明らかにする。
• 特に、各正規モードあたりの振動クーラ数が少ない系では、P に依存する指数的要因が 2^{P/2} 因子によって緩和されるため、高速化が顕著に現れる。
• グラフ理論的アルゴリズムを活用することで、従来では取り扱いが困難であったマルチモード系の FCF も効率的に計算可能になる。