[논문 리뷰] A fibrational study of realizability toposes

Jonas Frey|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 14.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 35인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 균일 전순서와 섬유화된 구조를 사용하여 실현 가능성 토포스에 대한 섬유화 프레임워크를 개발한다. 여기서 실현 가능성 트리포스와 토포스가 섬유화된 코모플리션과 셰이프화와 같은 범주론적 구성으로 유도됨을 보여준다. 주요 기여는 균일 전순서와 그에 관련된 조립 구조의 범주를 통해 실현 가능성 토포스를 특성화하는 것이다.

ABSTRACT

This is the author's PhD thesis. It is a contribution to categorical logic, in particular to the theory of realizability toposes. While the tools of categorical logic have proven very successful in analyzing and organizing proof theoretic realizability interpretations, it was remarked by experts (notably Peter Johnstone) that the field of realizability toposes itself was not clearly delineated, and lacked a powerful theory analogous to that of Grothendieck toposes. The present work sets out to remedy this situation to a certain extent. We argue that realizability toposes are best understood using Grothendieck fibrations, and develop a framework of fibrational cocompletions, which allows to view certain constructions from realizability in precise analogy to constructions of presheaf and sheaf toposes. Using these techniques, and a class of posetal fibrations that we call uniform preorders, we are able to give an extensional characterization of partial combinatory algebras and of the realizability toposes that are constructed from these algebras. Striving to develop the analogy to Grothendieck toposes further, we outline how to apply our techniques on arbitrary base toposes, and give a decomposition theorem for constant objects functors induced by triposes, analogous to the known decompositions of geometric morphisms. Finally, we sketch an approach of how to find a unified framework for Grothendieck toposes and realizability toposes, based on the observation that uniform preorders can be identified with preorders internal to a category of sheaves.

연구 동기 및 목표

• 기존의 범주론적 접근을 일반화하고 통합하는 실현 가능성 토포스를 위한 섬유화 프레임워크를 개발하기 위해.
• 균일 전순서의 관점에서 실현 가능성 트리포스, 토포스, 내부 논리 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 특히 코모플리션과 셰이프화를 포함한 섬유화된 구성이 선택 공리에 의존하지 않고 실현 가능성 모델을 유도하는 방식을 조사하기 위해.
• 내부 범주와 강화된 범주론의 더 넓은 프레임워크에 실현 가능성의 범주론적 의미를 통합함으로써 실현 가능성의 의미론을 탐색하기 위해.
• 선택 공리와 관련된 문제를 피하기 위해 $Ø\mathscr{P}{\mathbf{Set}}$ 대신 유니버스 위의 큰 셰이프를 사용하여 실현 가능성의 기초 문제를 다루기 위해.

제안 방법

• 부분 조합 대수기(PCA)에서 섬유화를 구성하고, 이를 실현 가능성 하이퍼도그린을 모델링하는 데 사용하기 위해.
• 균일 전순서를 실현 가능성 구조의 범주론적 추상화로 도입하여, 미모스 집합과 BCO를 일반화하기 위해.
• 특히 $D$-구성과 섬유화된 양성 코모플리션을 사용한 섬유화된 코모플리션 기법을 적용하여 실현 가능성 토포스를 생성하기 위해.
• 균일 전순서 위에서 섬유화된 셰이프와 조립 구조를 정의하여 실현 가능성 모델의 내부 논리 구조를 복원하기 위해.
• 강화된 범주론을 사용하여 균일 전순서를 내림차순 관계의 양적환(quantaloid)에 강화된 범주로 해석하기 위해.
• 선택 공리 의존을 피하기 위해, 큰 정규 셰이프에서 표현 가능 대상의 작은 합성으로 구성된 작은 합성의 작은 코모플리션을 통해 실현 가능성 토포스를 재구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 섬유화 및 코모플리션 기법을 사용하여 실현 가능성 토포스를 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 실현 가능성 트리포스를 유도하는 균일 전순서의 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 섬유화된 코모플리션과 셰이프화는 실현 가능성 모델의 내부 논리 구조를 어떻게 복원하는가?
• RQ4 선택 공리를 가정하지 않고 실현 가능성 토포스를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 균일 전순서는 자연스럽게 강화된 범주로 해석될 수 있으며, 이는 기존의 범주론적 실현 가능성 프레임워크와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 균일 전순서는 실현 가능성의 범주론적 기초를 제공하며, 미모스 집합과 BCO를 일반화하고 실현 가능성 트리포스의 본질적 구조를 포괄한다.
• 섬유화된 $D$-구성과 섬유화된 양성 코모플리션은 균일 전순서 위의 조립 구조로 구성된 실현 가능성 토포스를 유도한다.
• 균일 전순서 위의 섬유화된 셰이프는 실현 가능성 모델의 내부 논리 구조를 복원하며, 진리값은 균일 실현자로 주어진다.
• 유니버스 $Ø\mathbf{SET}$ 위의 작은 정규 셰이프의 범주 — 큰 정규 셰이프에서 표현 가능 대상의 작은 합성으로 구성된 — 는 실현 가능성 의미론을 지원하는 토포스를 이룬다.
• 균일 전순서는 내림차순 관계의 양적환에 강화된 범주로 동치로 기술될 수 있으며, 이는 그들의 구조에 대한 새로운 시각을 제공한다.
• 섬유화된 코모플리션을 통한 실현 가능성 토포스의 구성은 큰 유니버스 내에서 일어나므로 선택 공리 의존 없이도 코모플리션에 대해 닫혀 있음을 보장하며, 선택 공리 의존을 피한다.