[論文レビュー] A Finite Theory of Qubit Physics

T. N. Palmer|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

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ひとこと要約

本論文は、p進幾何と有理数の振幅/角度を用いて、連続的対称性を排除した有限理論（FTQP）を提示する。状態空間におけるユークリッド距離をp進距離に置き換えることで、数論的不整合性から量子の補完性、力学的挙動、測定を導出し、時空と量子力学的法則が宇宙論的状態空間における原初的なフラクタル的不変集合から生じることを示唆する。

ABSTRACT

Hardy's axiomatic approach to the quantum theory of discrete Hilbert Spaces reveals that just one principle distinguishes it from classical probability theory: there should be continuous (and hence infinitesimal) reversible transformations between any pair of pure states - the single word `continuous' giving rise to quantum theory. This raises the question: Can one formulate a finite theory of qubit physics (FTQP) - necessary different from quantum theory - which can replicate the tested predictions of quantum theory of qubits to experimental accuracy? Here we show that an FTQP based on complex Hilbert vectors with rational squared amplitudes and rational phase angles is possible, provided the metric of state space, $g_p$, is based on $p$-adic rather than Euclidean distance. A key number theorem describing an incompatibility between rational angles and rational cosines accounts for quantum complementarity in this FTQP. Dynamical evolution is described by a deterministic mapping on the set of $p$-adic integers and the measurement problem is trivially solved in terms of a nonlinear clustering of states in state space. Based on $g_p$, causal deterministic analyses of quantum interferometry, GHZ, the sequential Stern-Gerlach experiment, Leggett-Garg and the Bell Theorem are described. The close relationship between fractals and $p$-adic integers suggest the existence of a primal fractal-like 'invariant set' geometry $I_U$ in cosmological state space, from which space-time and the laws of physics in space-time are emergent.

研究の動機と目的

• 実験的精度までにテスト済みの量子予測を再現する有限的・離散的qubit物理学理論を開発すること。
• 量子理論における連続的ユニタリ発展を、p進整数上の決定論的・可逆的写像に置き換えること。
• p進状態空間における非線形クラスタリングにより測定問題を解決すること。
• 有理数の角度と有理数の余弦の間の数論的不整合性を通じて、量子の補完性を説明すること。
• 時空と物理法則が宇宙論的状態空間における原初的なフラクタル的不変集合から生じることを提案すること。

提案手法

• 有理数の二乗振幅と有理数の位相角を持つ複素ヒルベルトベクトルを用いて状態空間を定式化する。
• 状態空間幾何を定義するために、ユークリッド計量の代わりにp進計量 $g_p$ を導入する。
• 動的発展をp進整数環上の決定論的写像としてモデル化する。
• p進状態空間における状態の非線形クラスタリングを用いて測定を実装し、測定問題を自明化する。
• 有理数の角度と有理数の余弦の間の不整合性を形式化した重要な数論定理を用いて、量子の補完性を導出する。
• 因果的・決定論的p進力学を用いて、量子干渉、GHZ、逐次シュテルン＝ゲルラッハ、レッグェット＝ガルク、ベル型の定理を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限的・離散的qubit物理学理論は、実験的精度までに標準量子理論の予測を再現可能か？
• RQ2 有限状態空間における数論的制約から、量子の補完性はどのように生じるか？
• RQ3 p進幾何は、連続的ユニタリ発展を決定論的力学に置き換える役割を果たすか？
• RQ4 有限的・決定論的枠組みにおいて、p進状態空間を用いて測定問題はどのように解決されるか？
• RQ5 時空の構造と量子力学的法則は、宇宙論的状態空間における原初的なフラクタル的不変集合から生じるか？

主な発見

• 有理数の振幅と有理数の位相角を持つ複素ヒルベルトベクトルを用いた有限qubit物理学理論（FTQP）は可能である。
• ユークリッド計量の代わりにp進計量 $g_p$ を用いることで、離散的かつ決定論的な力学が可能となり、量子挙動を再現できる。
• 量子の補完性は、有理数の角度と有理数の余弦の間の数論的不整合性から生じる。これは重要な数論定理で形式化されている。
• p進状態空間における状態の非線形クラスタリングにより、測定問題は崩壊仮説を導入せず、自明に解決される。
• 因果的・決定論的なFTQPフレームワーク内において、量子干渉、GHZ、逐次シュテルン＝ゲルラッハ、レッグェット＝ガルク、ベル型の定理の解析が成功裏に導出された。
• このフレームワークは、時空と物理法則が宇宙論的状態空間における原初的なフラクタル的「不変集合」幾何 $I_U$ から生じることを示唆している。