[論文レビュー] A first order phase transition in the threshold-$ heta\ge 2$ contact process on random $r$-regular graphs and $r$-trees

Shirshendu Chatterjee, Rick Durrett|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダムな r-正則グラフおよび r-ツリーにおける閾値-θ ≥ 2 の接触過程において、1次相転移の存在を確立している。r ≥ θ + 2 かつ感染確率 p が十分に高い場合、システムは指数的時間にわたり高い頂点占有密度を維持するが、p が低い場合には急速に絶滅する。主な結果は、不連続な相転移を確認しており、中間密度の準定常分布が存在しないことを示唆している。

ABSTRACT

We consider the discrete-time threshold-$ heta \ge 2$ contact process on a random r-regular graph on n vertices. In this process, a vertex with at least heta occupied neighbors at time t will be occupied at time t+1 with probability p, and vacant otherwise. We show that if $ heta \ge 2$ and $r \ge heta+2$, $\epsilon_1$ is small and p is at least $p_1(\epsilon_1)$, then starting from all vertices occupied the fraction of occupied vertices stays above $1-2\epsilon_1$ up to time $\exp(\gamma_1(r)n)$ with probability at least $1 - \exp(-\gamma_1(r)n)$. In the other direction, we show that for $p_2 < 1$ there is an $\epsilon_2(p_2)>0$ so that if $p \le p_2$ and the number of occupied vertices in the initial configuration is at most $\epsilon_2(p_2)n$, then with high probability all vertices are vacant at time $C_2(p_2) \log(n)$. These two conclusions imply that on the random r-regular graph there cannot be a quasi-stationary distribution with density of occupied vertices between 0 and $\epsilon_2(p_1)$, and allow us to conclude that the process on the r-tree has a first order phase transition.

研究の動機と目的

• ランダムな r-正則グラフおよび r-ツリーにおける閾値-θ ≥ 2 の接触過程を分析し、相転移の存在および性質に注目する。
• 特に準定常的挙動の文脈において、システムが1次相転移を示すか連続的相転移を示すかを特定すること。
• 感染確率 p に応じて、プロセスが指数的時間にわたり生存するか、速やかに絶滅するかの条件を確立すること。
• 中間領域において、正のが小さい密度を持つ準定常分布が存在しないことを証明し、不連続な相転移を示すこと。
• 線形および2次接触過程の結果を、閾値-θ ≥ 2 モデルへと拡張し、等周的および大偏差技法を用いること。

提案手法

• 半辺の均等なランダムペアリングを保証するため、ランダムな r-正則グラフおよび r-ツリーの生成に構成モデルを用いる。
• 部分集合とその補集合の間の辺数を制御するため、等周不等式を適用し、特に e(U1, Uc1) および |∂U| をバウンドする。
• 二項分布の大偏差バウンド（補題 4.1–4.3）を用いて、辺数および部分集合のサイズに関連するレアイベントの確率を推定する。
• プロセスを3つの事象 F1（U1 が小さい）、F2（交差辺が少ない）、BU（悪条件）に分解し、サイズ m の部分集合に対する和集合バウンドを用いる。
• 固定された辺数のもとでの半辺の均等ペアリングを用いた条件付き確率解析により、指数的尾確率バウンドを導出する。
• サイズ m のすべての部分集合に対する和集合バウンドを組み合わせることで、悪条件の確率に対する最終的な推定値を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな r-正則グラフにおける閾値-θ ≥ 2 の接触過程は1次相転移を示すか？
• RQ2 r および p がどのような値のとき、全占有状態から出発したプロセスが指数的時間にわたり生存するか？
• RQ3 スパースな初期状態から出発した場合、どのような条件下でプロセスが速やかに絶滅するか？
• RQ4 中間領域 (0, ǫ2(p1)) において、正の密度を持つ準定常分布が存在するか？
• RQ5 特に相転移の種類という観点から、ランダムな r-正則グラフと r-ツリーとの間で臨界挙動はどのように異なるか？

主な発見

• r ≥ θ + 2、ǫ1 > 0 が十分に小さく、p ≥ p1(ǫ1) のとき、全占有状態から出発したプロセスは、高確率で時間 exp(γ1(r)n) までに少なくとも 1 − 2ǫ1 の頂点が占有された状態を維持する。
• p2 < 1 に対して、ǫ2(p2) > 0 が存在し、初期の占有頂点数が ≤ ǫ2(p2)n であれば、高確率で時間 C2(p2) log n までにすべての頂点が空集合になる。
• 高 p における生存と低 p における急速絶滅の両立は、密度が (0, ǫ2(p1)) の範囲にある準定常分布が存在しないことを示唆する。
• 中間領域における準定常分布の不在は、r-ツリーにおける閾値-θ ≥ 2 の接触過程における1次相転移を確認する。
• 等周不等式および二項分布の大偏差を用いた悪条件の指数的尾確率バウンドにより、結果が確立されている。
• 証明は、悪条件の3段階的分解に依拠しており、条件付き均等ペアリングと対数的バウンドを用いて、まれな事象の確率を厳密に制御している。