[論文レビュー] A formula for the action of Dehn twists on HOMFLY-PT skein modules and its applications

Shunsuke Tsuji|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、表面のHOMFLY-PT skeinモジュールにおけるデーンねじりの作用に関する公式を確立し、Kauffmanブラケット skein代数に関する先行結果を一般化する。これは、境界を持つ genus-g 表面のトーリ・群を、完成化されたHOMFLY-PT skein代数に埋め込むとともに、h^{n+1}を法としてn次の有限型の不変量をとる、整数ホモロジー3次元球面の新しい不変量を定義する。この不変量は、sl_n量子群に関連する量子不変量を回復する可能性を有する。

ABSTRACT

We introduce a formula for the action of Dehn twists on the HOMFLY-PT type skein module of a surface. As an application of the formula to mapping class group, we give an embedding from the Torelli group of a surface $Σ_{g,1}$ of genus $g$ with non-empty connected boundary into the completed HOMFLY-PT type skein algebra. As an application of the formula to integral homology $3$-spheres, we construct an invariant $z(M) \in \mathbb{Q} [ρ] [[h]]$ for an integral homology $3$-sphere $M$. The invariant $z(M) \mod (h^{n+1})$ is a finite type invariant of order $n$.

研究の動機と目的

• Kauffmanブラケット skein代数に関する先行結果をHOMFLY-PT skein代数フレームワークに一般化すること。
• 表面のHOMFLY-PT skeinモジュールにおけるデーンねじりの作用に関する公式を構成すること。
• 境界を持つ genus-g 表面のトーリ・群 I(Σ_{g,1}) を完成化されたHOMFLY-PT skein代数に埋め込むこと。
• ℚ[ρ][[h]] に値をとる、整数ホモロジー3次元球面 M に対する新しい不変量 z(M) を定義すること。この不変量は h^{n+1} を法として n 次の有限型不変量である。

提案手法

• ℚ[ρ][[h]] 上の完成化されたHOMFLY-PT型 skein代数を導入し、Σ×I 内のフレームド向き付きリンクによって生成される基底を与える。
• 完成化された skein モジュールにおけるデーンねじり t_c の作用の公式を、完成化された skein 代数内の要素 Λ(c) を含む指数関数的写像を用いて導出する。
• 関係式 t_c(⋅) = exp(σ(Λ(c)))(⋅) を用いて、写像類群作用と skein 代数構造を関連付ける。
• skein モジュール F^n A(Σ, J^-, J^+) にフィルトレーションを構成し、2つのフィルトレーション F^{⋆n} と F^n の同値性を証明する。
• 公式を応用して、デーンねじりの作用を用いて、トーリ・群 I(Σ_{g,1}) を完成化されたHOMFLY-PT skein代数に埋め込む。
• surgery 表現を skein 代数に上げて h^{n+1} を法として切り詰めることで、任意の整数ホモロジー3次元球面 M に対して z(M) ∈ ℚ[ρ][[h]] を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HOMFLY-PT skeinモジュールにおけるデーンねじりの作用を、skein代数の観点から明示的に記述することは可能か？
• RQ2 表面 Σ_{g,1} のトーリ・群 I(Σ_{g,1}) を、skein代数構造を用いて完成化されたHOMFLY-PT skein代数に埋め込むことは可能か？
• RQ3 構成された不変量 z(M) ∈ ℚ[ρ][[h]] は、h^{n+1} を法として n 次の有限型不変量をもたらすか？
• RQ4 この不変量は、任意の n に対して sl_n 量子群に関連する量子不変量を回復できるか？
• RQ5 写像類群作用の文脈において、HOMFLY-PT skein代数とゴールドマンリー代数の関係は何か？

主な発見

• デーンねじりの作用に関する公式が確立された：完成化された skein 代数内のある要素 Λ(c) に対して、t_c(⋅) = exp(σ(Λ(c)))(⋅) が成り立つ。
• トーリ・群 I(Σ_{g,1}) が、完成化されたHOMFLY-PT skein代数に埋め込まれる。これは、Kauffmanブラケット skein代数に関する結果の一般化である。
• 任意の整数ホモロジー3次元球面 M に対して、z(M) ∈ ℚ[ρ][[h]] を構成し、z(M) mod h^{n+1} が n 次の有限型不変量であることが示された。
• skein モジュールにおけるフィルトレーション F^{⋆n} が F^n と等しいことが示され、skein代数のフィルタード構造の整合性が保証された。
• 構成手法から、z(M) が特殊化 A^{4} = q を用いて、sl_n 量子群から得られるすべての量子不変量を回復できる可能性がある。
• HOMFLY-PT skein代数は、Kauffmanブラケット skein代数よりも多くの情報を捉えており、ゴールドマンリー代数構造を含む。