[論文レビュー] A Framework for Dependent Types and Effects

Matthijs Vákár|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、dCBPV- を導入する。これは、自然な小ステップ操作的意味論と洗練された圏論的意味論を備えた、効果をサポートする依存型付きのコール・バイ・プッシュ・バリュー（call-by-push-value, CBPV）の拡張である。これにより、モノイド的およびCBN依存型理論からの完全かつ忠実な翻訳が可能になる。さらに、dCBPV+ を提案し、CBV依存型理論および正の接続子の強力な消去規則を符号化するための依存Kleisli拡張を追加するが、その代償として型付けの一意性の喪失の可能性があり、これは部分型による形式化がなされている。

ABSTRACT

We generalise Levy's call-by-push-value (CBPV) to dependent type theory, to gain a better understanding of how to combine dependent types with effects. We define a dependently typed extension of CBPV, dCBPV-, and show that it has a very natural small-step operational semantics, which satisfies subject reduction and (depending on the effects present) determinism and strong normalization, and an elegant categorical semantics, which - surprisingly - is no more complicated than the simply typed semantics. We have full and faithful translations from a dependently typed version of Moggi's monadic metalanguage and of a call-by-name (CBN) dependent type theory into dCBPV- which give rise to the expected operational behaviour. However, it turns out that dCBPV- does not suffice to encode call-by-value (CBV) dependent type theory or the strong (dependent) elimination rules for positive connectives in CBN-dependent type theory. To mend this problem, we discuss a second, more expressive system dCBPV+, which additionally has a principle of Kleisli extension for dependent functions. We obtain the desired CBV- and CBN-translations of dependent type theory into dCBPV+. It too has a natural categorical semantics and operational semantics. However, depending on the effects we consider, we may lose uniqueness of typing, as the type of a computation may become more specified as certain effects are executed. This idea can be neatly formalized using a notion of subtyping. We hope that the theoretical framework of this paper on the one hand provides at least a partial answer to the fundamental type theoretic question of how one can understand the relationship between computational effects and dependent types. On the other hand, we hope it can contribute a small-step towards the ultimate goal of an elegant fully fledged language for certified effectful programming.

研究の動機と目的

• 計算的効果と依存型理論を統合する原理的枠組みを開発すること。既存のシステムにおける制限を解決すること。
• Levy のコール・バイ・プッシュ・バリュー（CBPV）計算を依存型へ拡張し、主題還元および強正規化を保持すること。
• dCBPV- がコール・バイ・バリュー（CBV）依存型理論および CBN における正の接続子の強力な消去規則を符号化できないことの解決。
• CBV および CBN 依存型理論の両方の完全な符号化を達成するため、依存Kleisli拡張を備えた dCBPV+ を導入すること。
• 圏論的モデルと操作的意味論を通じて、認証可能な効果的プログラミングのための意味論的基盤を提供すること。

提案手法

• dCBPV- を用いて CBPV を依存型へ拡張し、効果の種類に応じて主題還元および決定性を満たす小ステップ操作的意味論を導入する。
• dCBPV- の圏論的意味論を定義し、単純型付きの場合と同程度の複雑さに保つ。計算型と値型の分離を、随伴関手を用いてモデル化する。
• dCBPV+ を、依存関数に対するKleisli拡張の原則を追加することで導入し、CBV および CBN 依存型理論の符号化を可能にする。
• dCBPV+ における型付けの一意性の欠如を、部分型を用いて形式化する。効果の実行によって計算の型がより明確に指定される可能性がある。
• Moggi のモノイド的メタ言語および CBN 依存型理論から dCBPV- への完全かつ忠実な翻訳を提供し、操作的挙動を保持する。
• ゲーム意味論とドメイン意味論をモデルとして用い、特に再帰、制御、ローカル状態などの効果に対するフレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算的効果と依存型を、型安全性および操作的明確性を保ちつつ、体系的かつ整合的に組み合わせる方法は何か？
• RQ2 なぜ dCBPV- は CBV 依存型理論および CBN における正の接続子の強力な消去規則を符号化できないのか？
• RQ3 依存Kleisli拡張の原則が、dCBPV+ において表現力を回復させつつ、整合的な意味論を維持できるか？
• RQ4 dCBPV+ に効果を導入することで型付けの一意性がどの程度損なわれるのか。そして、その損なわれ方はどのように形式的に捉えられるか？
• RQ5 このフレームワークは、帰納的族、ユニバース、帰納的・再帰的定義といった高度な型構成子をサポートできるか？

主な発見

• dCBPV- は、主題還元を満たし、効果の種別に応じて決定性および強正規化を満たす自然な小ステップ操作的意味論をサポートする。
• dCBPV- の圏論的意味論は、単純型付きの場合と同程度に単純であり、依存型が効果の意味論を本質的に複雑にするわけではないことを示している。
• dCBPV+ は、CBV および CBN 依存型理論の両方を完全に符号化できる依存Kleisli拡張を導入している。dCBPV- では表現できない。
• dCBPV+ では、効果的実行中に計算の型がより明確に指定される可能性があり、これは部分型の概念を用いて形式化されている。
• このフレームワークは、再帰、制御演算子、ローカル状態などの効果を伴う依存型理論のモデルをサポートしており、ゲーム意味論とドメイン意味論によって検証されている。
• このシステムは、モノイド的および CBN 依存型理論から dCBPV+ への完全かつ忠実な翻訳を提供し、操作的挙動を保持しており、効果的プログラムの検証を可能にしている。