[論文レビュー] A Framework of Quantum Strong Exponential-Time Hypotheses

Harry Buhrman, Subhasree Patro+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、BQPに属する問題に対する条件付き量子時間下界を確立するために、強指数時間仮説（SETH）の量子版、すなわち量子SETH（QSETH）を導入する。量子クエリ下界とブラックボックス問題からの還元を活用することで、編集距離に対して条件付きΩ(n^1.5)の量子時間下界を導出し、QSETH下で「有用な作業の証明」においても二次的なギャップを維持する。これにより、量子高速化が古典的な細粒度ハードネス仮定を崩さないことが示される。

ABSTRACT

The closest pair problem is a fundamental problem of computational geometry: given a set of n points in a d-dimensional space, find a pair with the smallest distance. A classical algorithm taught in introductory courses solves this problem in O(n log n) time in constant dimensions (i.e., when d = O(1)). This paper asks and answers the question of the problem’s quantum time complexity. Specifically, we give an Õ(n^(2/3)) algorithm in constant dimensions, which is optimal up to a polylogarithmic factor by the lower bound on the quantum query complexity of element distinctness. The key to our algorithm is an efficient history-independent data structure that supports quantum interference. In polylog(n) dimensions, no known quantum algorithms perform better than brute force search, with a quadratic speedup provided by Grover’s algorithm. To give evidence that the quadratic speedup is nearly optimal, we initiate the study of quantum fine-grained complexity and introduce the Quantum Strong Exponential Time Hypothesis (QSETH), which is based on the assumption that Grover’s algorithm is optimal for CNF-SAT when the clause width is large. We show that the naïve Grover approach to closest pair in higher dimensions is optimal up to an n^o(1) factor unless QSETH is false. We also study the bichromatic closest pair problem and the orthogonal vectors problem, with broadly similar results.

研究の動機と目的

• 細粒度複雑性を量子計算へ拡張するために、強指数時間仮説（SETH）の量子版を形式化すること。
• 量子クエリ複雑性を用いて、古典的なSETHに基づく条件付き下界を量子設定へと移行すること。
• 特に編集距離と有用な作業の証明について、QSETH仮定の下で新たな量子時間下界を確立すること。
• 特にグローバーのアルゴリズムによる二次的高速化を考慮した場合に、古典的な細粒度ハードネス仮定が量子計算下でどれほど頑健であるかを分析すること。

提案手法

• グローバーのアルゴリズムによる二次的高速化を組み込んだ、古典的SETHの量子版である量子強指数時間仮説（QSETH）の枠組みを提唱する。
• ブラックボックス問題における量子アドバーガー法とクエリ複雑性の下界を用いて、条件付き量子時間下界を導出する。
• PPeditのようなプロミス問題から、編集距離や有用な作業の証明といった既知の問題へと還元を適用し、下界を移転する。
• 入力の圧縮によって下界が無効化されないよう保証するため、圧縮に無関係な性質（compression-oblivious properties）の概念を導入する。
• 構造的入力（例：有界深さのDyck言語）を扱う問題に対してタイトな下界を得るため、NC-QSETHのプロミス版を用いる。
• 既知の量子クエリ下界（例えば直交ベクトルやDyck言語のもの）を還元によって時間複雑度へと変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なSETHに基づく条件付き下界を、SETHの量子版を用いて量子設定へと拡張できるか？
• RQ2 量子アルゴリズムがCNF-SATに対してグローバーの二次的高速化を著しく上回れないという仮定のもとで、編集距離の量子時間複雑度はいかほどか？
• RQ3 QSETHを仮定した場合に、「有用な作業の証明」スキームにおける検証者と証明者との間の二次的ギャップは維持されるか？
• RQ4 ブラックボックス問題における量子クエリ下界は、BQPに属する問題における量子時間下界へどのように変換されるか？
• RQ5 パリティやDyck言語の属する性質といった自然な性質は、圧縮に無関係であるとみなせるか？これにより、下界が入力の圧縮に対しても保たれるか？

主な発見

• NC-QSETHのプロミス版の下で、編集距離を計算する有界誤差量子時間複雑度はΩ(n^1.5)である。
• 深さk = ω(log n)の制限付きDyck言語の量子クエリ複雑度はΩ(n^{1−o(1)})であり、[AGS19]で提起された未解決問題の一部を解決する。
• 「有用な作業の証明」スキームにおけるn^2の量子時間下界はQSETH下でも成立し、検証者と証明者との間の二次的ギャップが保たれる。
• この枠組みは、一貫した二次的要因を伴って、古典的なSETHに基づく下界を量子設定へと効果的に移転でき、グローバーの高速化が編集距離のような問題の細粒度ハードネスを無効にしないことを示している。
• 本稿では、ホワイトボックス設定におけるPPeditの量子クエリ下界がΩ(2^{0.75n})であることを示し、これにより編集距離に対する条件付き量子時間下界が導かれる。
• この枠組みは、性質が圧縮に無関係である場合に、古典的な条件付き下界が量子環境でも有効である条件を特定している。