[論文レビュー] A fully nonlinear equation on 4-manifolds with positive scalar curvature

Matthew J. Gursky, Jeff Viaclovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スチャウテン型テンソルの第二基本対称関数を含む曲率条件を用いて、正のスカラー曲率をもつ4次元多様体上での完全非線形な共形変形を導入する。共形不変量の正値性条件の下で、正のリッチ曲率と正のσ₂曲率をもつ共形計量の存在を証明し、定数Q曲率計量をもつ4次元多様体の新たな例を構成する。

ABSTRACT

We present a conformal deformation involving a fully nonlinear equation in dimension 4, starting with positive scalar curvature. Assuming a certain conformal invariant is positive, one may deform from positive scalar curvature to a stronger condition involving the Ricci tensor. We also give a new conformally invariant condition for positivity of the Paneitz operator, which allows us to give many new examples of manifolds admitting metrics with constant $Q$-curvature.

研究の動機と目的

• 完全非線形方程式を用いて、正のスカラー曲率をもつ4次元多様体上での共形変形を確立すること。
• 文献[CGY02]における正のσ₂曲率をもつ計量の存在に関する主要結果に対する、新たな直接的証明を提供すること。
• パネイツ作用素の正値性を保証する新しい共形不変条件を導出すること。
• [CY95]の存在結果を用いて、定数Q曲率計量をもつ4次元多様体の新たな例を構成すること。

提案手法

• 修正されたスチャウテンテンソルのσ₂の積分とヤマベ不変量を含む共形不変量を導入する。
• 文献[Via00]、[GW03]、[LL]、[GV03]における完全非線形方程式の事前推定を適用し、解の存在を証明する。
• シュレーディンガー＝ボンネットの公式を用いて、ウェイルテンソル、スカラー曲率、共形不変量F₂を関連付ける。
• 共形変換におけるQ曲率およびパネイツ作用素の変換則を分析する。
• 接合技術を用いて、ヤマベ不変量とF₂がともに正である4次元多様体を構成し、必要な条件を満たすようにする。
• 文献[CY95]における変分法と新しい共形条件を組み合わせ、定数Q曲率計量のコンパクト性と存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のスカラー曲率をもつ4次元多様体が、スチャウテンテンソルの正のσ₂曲率をもつように共形変形可能となる条件は何か？
• RQ2 正則化や積分推定を避けて、正のσ₂曲率をもつ計量の存在に関する新たな直接的証明が可能か？
• RQ3 どの共形不変条件がパネイツ作用素の正値性を保証するか？
• RQ4 どの4次元多様体が定数Q曲率計量をもつのか？また、共形変形を用いてこのような計量をどのように構成できるか？

主な発見

• 定理1.1は、共形不変量条件(1.6)が成立するならば、正のスカラー曲率と点毎に正のσ₂(A^{t₀}_g)をもつ共形計量が存在することを確立する。
• t₀ = 1の場合、本結果は[CGY02]の主要結果の別証明を提供し、正のσ₂曲率と0 < 2Ric < Rg gをもつ共形計量の存在を示す。
• 本稿では、パネイツ作用素の正値性を保証する新しい共形不変条件を提示し、[Gur99]の結果を一般化する。
• [CY95]の存在理論を用いて、定数Q曲率計量をもつ4次元多様体の新たな例を構成する。
• 具体的な例として、k ≤ 5のとき(S²×S²)#k(S¹×S³)、k ≤ 5のときℂℙ²#k(S¹×S³)、l ≤ 8のときℂℙ²#l(ℝℙ⁴)が挙げられる。
• 系7.1は、非負のQ曲率積分と4√3πより大きいヤマベ不変量をもつ2つの4次元多様体の連結和が、定数Q曲率計量をもつことを示す。