[論文レビュー] A functional analysis proof of Gromov's polynomial growth theorem

Narutaka Ozawa|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Gromovの多項式成長定理の新しい関数解析的証明を提示する。任意の有限生成群が遅いエントロピー成長を示すならば、Shalomの性質 $H_{\mathrm{FD}}$ を満たすことが示され、これは有限指数の冪零部分群の存在を意味する。証明は調和1-コサイクル、減少コホモロジー、および群上のランダムウォークのスペクトル解析を活用する。

ABSTRACT

The celebrated theorem of Gromov asserts that any finitely generated group with polynomial growth contains a nilpotent subgroup of finite index. Alternative proofs have been given by Kleiner and others. In this note, we give yet another proof of Gromov's theorem, along the lines of Shalom and Chifan--Sinclair, which is based on the analysis of reduced cohomology and Shalom's property H_FD.

研究の動機と目的

• 関数解析的道具を用いて、多項式成長を示す有限生成群に関するGromovの定理の新しい証明を提供すること。
• 遅いエントロピー成長を示す群が、Gromovの定理への重要なステップであるShalomの性質 $H_{\mathrm{FD}}$ を満たすことを確立すること。
• 幾何的成長条件（多項式的または遅いエントロピー）を調和1-コサイクルを通じてコホモロジー的性質に結びつけること。
• 非自明な減少コホモロジーを有する弱混合ユニタリ表現において、遅いエントロピー条件下でコサイクルの部分線形成長が生じることを示すこと。
• 群の成長と構造の文脈において、ランダムウォーク、コホモロジー、スペクトル理論の視点を統合すること。

提案手法

• 対称的かつ有限台を持つ確率測度 $\mu$ に対して、$\mu$-調和1-コサイクルと同一視される、減少コホモロジー $\overline{H^1}(G,\pi)$ を中心的な道具として用いる。
• ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上のランダムウォーク作用素 $T = \sum_x \mu(x)\pi_x$ にスペクトル理論を適用し、弱混合表現における不変ベクトルの不在を活用する。
• 超積技術とスペクトル部分空間を用いて、$G$ がKazhdanの性質(T)を有さない場合に非ゼロの $\mu$-調和1-コサイクルを構成する。
• $\pi$ が弱混合であるとき、$\mu^{*n}$ の下で $b(x) \otimes \bar{b}(x)$ の $L^2$ ノルムが部分線形に減少することを示す。
• 制御された F{\textbackslash}

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅いエントロピー成長は、有限生成群に対してShalomの性質 $H_{\mathrm{FD}}$ を意味するか？
• RQ2 弱混合表現における非自明な減少コホモロジーの存在は、群の構造的制約を導くのに利用可能か？
• RQ3 遅いエントロピー成長と調和1-コサイクルの部分線形成長との関係は何か？
• RQ4 ランダムウォーク作用素のスペクトル的挙動は、弱混合表現における $\mu$-調和コサイクルの消失とどのように関係するか？
• RQ5 遅いエントロピー成長は、群の成長定理の文脈において弱多項式的成長と同値か？

主な発見

• 遅いエントロピー成長を示す有限生成群は、Shalomの性質 $H_{\mathrm{FD}}$ を満たす。これは、非自明な減少コホモロジーを有する任意のユニタリ表現が、有限次元不変部分空間を持つことを意味する。
• 任意の $\mu$-調和1-コサイクル $b$ と弱混合表現に対して、$\frac{1}{n}\left\|\sum_x \mu^{*n}(x)(b(x)\otimes \bar{b}(x))\right\|_{{\mathcal{H}}\otimes\bar{{\mathcal{H}}}} \to 0$ が $n \to \infty$ のとき成り立つ。
• 遅いエントロピー成長条件下で、ノルム $\|b(g)\|$ は $|g|$ に対して部分線形に成長する。すなわち、$\|b(g)\| \leq f(|g|)$ を満たす関数 $f$ が存在し、$f(n)/n \to 0$ となる。
• 群が制御された F{\textbackslash}