[論文レビュー] A functional Generalized Hill process and applications

Gane Samb Lô, El Hadji Dème|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、極値統計学における極値指数の推定量を統一的かつ一般化するため、関数 f のクラスによってインデックス付けられる関数的 Generalized Hill プロセスを導入する。有界関数空間における弱収束を用いて、関数 f の2次モーメントおよび一様エントロピーに関する条件下で、ガウス型および非ガウス型の極限を示す、関数的かつ一様な漸近法則を確立する。特に、f(j) = j^τ のようなべき則関数に対して明示的な結果を得る。

ABSTRACT

We are concerned in this paper with the functional asymptotic behaviour of the sequence of stochastic processes T_{n}(f)=\sum_{j=1}^{j=k}f(j)(\log X_{n-j+1,n}-\log X_{n-j,n}), indexed by some classes $\mathcal{F}$ of functions $f:\mathbb{N} \backslash {0} \longmapsto \mathbb{R}_{+}$ and where $k=k(n)$ satisfies 1\leq k\leq n,k/n ightarrow 0 ext{as}n ightarrow \infty. This is a functional generalized Hill process including as many new estimators of the extremal index when $F$ is in the extremal domain. We focus in this paper on its functional and uniform asymptotic law in the new setting of weak convergence in the space of bounded real functions. The results are next particularized for explicit examples of classes $\mathcal{F} $.

研究の動機と目的

• 極値統計学における既存の極値指数推定量を、1つの確率過程フレームワークによって統一・一般化すること。
• 有界実関数空間における T_n(f) の関数的および一様な漸近分布を導出すること。
• 関数 f のクラスに応じて、ガウス型および非ガウス型の極限分布を特徴づけること。
• ℓ^∞(F_h) におけるプロセスの弱収束を保証する f に関する条件を確立すること（h=1,2 について）。
• f(j) = j^τ（τ > 0）のようなクラスへの明示的応用を提供し、詳細な漸近的解析を実施すること。

提案手法

• f: ℕ* → ℝ₊ に対して、T_n(f) = ∑_{j=1}^k f(j)(log X_{n-j+1,n} − log X_{n-j,n}) として確率過程 T_n(f) を定義する。
• 2つの重要な条件を導入する：(K1) ∑ f(j)²j⁻² < ∞ および (K2) limsup B(n,f) = 0、ここで B(n,f) は max(f(j)j⁻¹) と σ_n(f) を含む。
• 正規化列として σ_n²(f) = ∑_{j=1}^k f(j)²j⁻² および a_n(f) = ∑_{j=1}^k f(j)j⁻¹ を定義する。
• 特に (KU1) および (KU2a,b) を含む、一様エントロピーおよび一様緊密性の条件を用いて、ℓ^∞(F_h) における関数的弱収束を確立する。
• 連続収束およびエントロピー積分の議論を用いて、漸近的緊密性および弱収束の条件を検証する。
• 特に f(j) = j^τ（τ > 0）のような明示的クラスに結果を適用し、極限分布および共分散構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの確率過程が、極値統計学における極値指数推定量の広いクラスを統一的に扱えるか？
• RQ2 ℓ^∞(F_h) における弱収束のもとで、プロセス T_n(f) を支配する関数的漸近法則は何か？
• RQ3 f に関するどのような条件下で、プロセス T_n(f) がガウス型または非ガウス型の極限に収束するか？
• RQ4 漸近的分布は、特に f(j) = j^τ の場合に、関数的クラス F にどのように依存するか？
• RQ5 一様エントロピーおよび緊密性は、プロセスの弱収束を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 条件 (KU1) を満たすクラスに対して、{T_n(f), f ∈ F₁} は ℓ^∞(F₁) でガウス過程に弱収束し、その共分散構造は ∑ f₁(j)f₂(j)j⁻² によって決定される。
• 条件 (KU2a,b) を満たすクラスに対して、{T_n(f), f ∈ F₂} は非ガウス型の極限に弱収束し、極限共分散 Γ(f₁,f₂) が存在し、非退化である。
• f(j) = j^τ（τ > 0）に対して、T_n(f) の漸近的分布が特徴づけられ、τ < 1/2 のとき非ガウス型の挙動を示す。
• 一様エントロピー条件により、log N_{[]} (ε, F_h, L₂ⁿ) ≤ Kε⁻² が保証され、これは漸近的緊密性の証明に不可欠である。
• 式 (5.2) の証明は、連続収束およびボルツァノ＝ヴァイエルシュトラスの定理に基づく背理法に依拠し、ρ_n²(f₁,f₂) → 2(1−Γ(f₁,f₂)) が連続的に成り立つことを示す。
• d_n²(f_ν,f_τ,j) の展開における剰余項は Kε² で有界であり、これにより一様な制御が可能となり、エントロピー積分の境界が得られる。