[論文レビュー] A functional limit theorem for partial sums of dependent random variables with infinite variance

Bojan Basrak, Danijel Krizmanić+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、無限分散を伴う定常的で、正規化可能な依存確率変数の部分和について、関数的極限定理を確立する。高閾値超過のクラスタリングが、漸近的に独立なブロックに分解される場合、中心化された部分和過程は、スコロホド $M_1$ 位相において安定Lévy過程に弱収束する。この際、Lévyの三重対は、クラスタリング効果のため、独立の場合とは異なっている。

ABSTRACT

Under an appropriate regular variation condition, the affinely normalized partial sums of a sequence of independent and identically distributed random variables converges weakly to a non-Gaussian stable random variable. A functional version of this is known to be true as well, the limit process being a stable Levy process. The main result in the paper is that for a stationary, regularly varying sequence for which clusters of high-threshold excesses can be broken down into asymptotically independent blocks, the properly centered partial sum process still converges to a stable Levy process. Due to clustering, the Levy triple of the limit process can be different from the one in the independent case. The convergence takes place in the space of cadlag functions endowed with Skorohod's $M_1$ topology, the more usual $J_1$ topology being inappropriate as the partial sum processes may exhibit rapid successions of jumps within temporal clusters of large values, collapsing in the limit to a single jump. The result rests on a new limit theorem for point processes which is of independent interest. The theory is applied to moving average processes, squared GARCH(1,1) processes and stochastic volatility models.

研究の動機と目的

• 無限分散を伴う依存的過程に対して、中心極限定理を拡張する。
• 標準的な $J_1$ 位相が無効となる、高閾値超過における時間的クラスタリングの課題に対処する。
• 大値のクラスタが生じる依存構造下での部分和過程の極限定理を導出する。
• 制限された安定過程のLévy三重対を特徴づけ、クラスタリングのため、独立の場合とは異なることを示す。
• 理論を移動平均過程、二乗GARCH(1,1)、および確率的ボラティリティモデルなどの確率過程に適用する。

提案手法

• 漸近的に独立なブロックを持つ定常的で正規化可能な系列における希少事象の点過程極限定理を用いる。
• クラスタ内での急激なジャンプ列が極限で単一のジャンプに収縮するのを扱うために、スコロホドの $M_1$ 位相を用いる。
• 高閾値を超える超過のクラスタリングをモデル化するため、ブロックベースの分解を適用する。
• 点過程極限の強度測度とLévy三重対を特徴づけることにより、制限された安定Lévy過程を導出する。
• 連続写像定理を用いて、部分和過程の弱収束を確立する。
• 移動平均過程、二乗GARCH(1,1)、および確率的ボラティリティモデルへの応用を通じて、フレームワークを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高閾値超過のクラスタリングは、無限分散かつ依存的設定下での部分和過程の弱極限にどのように影響を与えるか？
• RQ2 なぜ $J_1$ 位相は、クラスタリングされたジャンプを伴う部分和過程のモデル化に不適切であり、収束を保証する代替位相は何か？
• RQ3 クラスタが漸近的に独立であるような、依存的で正規化可能な系列に対して、関数的極限定理を確立できるか？
• RQ4 クラスタリングのため、制限された安定過程のLévy三重対は、独立の場合とどのように異なるか？
• RQ5 理論的フレームワークは、GARCH や確率的ボラティリティのような実際の金融時系列モデルに、どの程度まで適用可能か？

主な発見

• 漸近的に独立なクラスタを持つ定常的で正規化可能な系列の部分和過程は、$M_1$ 位相において、安定Lévy過程に弱収束する。
• 制限された安定Lévy過程のLévy三重対は、超過のクラスタ構造のため、独立の場合とは異なる。
• $M_1$ 位相は収束に不可欠であり、$J_1$ 位相では、急激なジャンプ列が極限で単一のジャンプに収縮するため、収束に失敗する。
• 依存的で正規化可能な系列における希少事象の点過程極限定理が新たに確立され、関数的極限定理の根幹をなす。
• 理論的フレームワークは、移動平均過程、二乗GARCH(1,1)過程、および厚尾のノイズを伴う確率的ボラティリティモデルに、うまく適用可能である。