[論文レビュー] A general approach to approximation theory of operator semigroups

A. M. Gomilko, Sylwia Kosowicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間上の$C_0$-半群を、生成子の有界な完全単調関数によって近似するための統一的関数計算枠組みを構築する。ベルンシュタイン関数とHille-Phillips関数計算を活用することで、ヨシダの公式やオイラーの公式といった既知の近似式を一般化し、特定の状況では鋭い定数を伴う最適収束速度を提供するとともに、本稿で初めてこの一般性において明示的な収束速度を有する新たな2次近似公式を導入する。

ABSTRACT

We develop a general, functional calculus approach to approximation of $C_0$-semigroups on Banach spaces by bounded completely monotone functions of their generators. The approach comprises most of well-known approximation formulas, yields optimal convergence rates, and sometimes even leads to sharp constants. In an important particular case when semigroups are holomorphic, we are able to significantly improve our results for general semigroups. Moreover, we present several second order approximation formulas with rates, which in such a general form appear in the literature for the first time.

研究の動機と目的

• 異なる近似公式を統一的に$C_0$-半群の関数計算枠組みに統合すること。
• 生成子の有界な完全単調関数によって生成される半群近似の最適収束速度を提供すること、特に特定の状況で鋭い定数を含むこと。
• 正則半群への理論の拡張により、一般の$C_0$-ケースと比較して著しく改善された収束推定値をもたらすこと。
• 本稿の文脈で初めて、明示的な収束速度を有する2次近似公式を導入・分析すること。
• [32]の結果を、より広い生成関数のクラスに拡張し、定量的誤差境界を確立すること。

提案手法

• 生成関数$\varphi$が$\varphi(0)=0$, $\varphi'(0)=1$, $|\varphi''(0)|<\infty$を満たすベルンシュタイン関数である場合、近似族を$e^{-n\varphi(tA/n)}$としてHille-Phillips関数計算を用いて表現する。
• 収束速度を導出するために、$n \to \infty$における差$e^{-tz} - e^{-nt\varphi(z/n)}$の漸近解析を適用する。
• 誤差項を$\Gamma$関数とラプラス変換を用いた積分表現により推定し、$c_\alpha[g_n]$と$R_\alpha(n)$を用いる。
• $\Gamma(n)/\Gamma(n+\beta)$の漸近展開を用いて、$O(n^{-1})$および$O(n^{-2})$の誤差項を導出する。
• 剰余項を$R_{0,\alpha}(n)$と$R_{1,\alpha}(n)$に分解し、$R_{0,\alpha}(n)$はベータ関数の恒等式を用いて取り扱う。
• 関数$m(z) = (1-g(z))/z$の性質を用いて、$|1 - f_\alpha(z)|$および$|f'_\alpha(z)|$の境界を確立し、2番目の剰余項の誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヨシダの公式やオイラーの公式といった既知の$C_0$-半群近似公式を、一様な理論的枠組みとして統合できるか？
• RQ2 生成子の有界な完全単調関数によって生成される半群近似の最適収束速度は何か？
• RQ3 半群が正則的かつ扇状に有界である場合、一般の$C_0$-ケースと比較して収束速度はどのように向上するか？
• RQ4 本手法を用いて、$C_0$-半群に対して、明示的な誤差境界を有する2次近似公式を一般に導出できるか？
• RQ5 生成関数$g$の原点における微分、特に$g''(0)$, $g'''(0)$, $g^{(4)}(0)$が収束速度に果たす役割は何か？

主な発見

• 一般の$C_0$-半群に対して、$x \in \text{dom}(A^\alpha)$, $\alpha \in (0,2]$について、$\|e^{-ntA(n+A)^{-1}}x - e^{-tA}x\| \leq 16M(t/n)^{\alpha/2}\|A^\alpha x\|$が成り立つ。ここで$M = \sup_{t \geq 0}\|e^{-tA}\|$である。
• 正則半群の場合、収束速度は$\|e^{-ntA(n+A)^{-1}}x - e^{-tA}x\| \leq C(nt^{1-\alpha})^{-1}\|A^\alpha x\|$（$\alpha \in [0,1]$）に改善され、絶対定数$C > 0$を伴い、以前の推定値を著しく改善する。
• 2次近似公式を導出し、$\leq \frac{5(g^{(4)}(0)-1)}{6n^2}$の境界を示し、さらに$\leq \frac{g''(0)-1}{n^2}$に精錬することで、$O(n^{-2})$の収束速度を確立する。
• 生成関数$g(z) = \log(1+z)$（オイラー近似に対応）に対して、明示的な定数を伴う$O(n^{-2})$収束速度が得られる。
• 解析により、収束速度は生成関数$g$の原点における2次および4次微分、特に$g''(0)-1$および$g^{(4)}(0)-1$が誤差境界に主要な係数として現れることを示す。
• 本稿では、剰余項$R_{1,\alpha}(n)$が$|R_{1,\alpha}(n)| \leq \frac{C(g)\alpha}{n^{3-\alpha}}$を満たすことを証明し、2次近似の場合の$O(n^{-2})$収束速度を確立する上で不可欠である。