[論文レビュー] A general construction of Weil functors

Wolfgang Bertram, Arnaud Souvay|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、任意のトポロジカルな基本環 $\mathbb{K}$ 上のウェイル代数 $\mathbb{A} = \mathbb{K} \oplus \mathcal{N}$ に対して、一般のウェイルファンクター $T^\mathbb{A}$ の構成を提示する。代数幾何学におけるスカラー拡張技術を微分幾何学へと拡張する。主な結果として、$T^\mathbb{A}M$ は $\mathbb{A}$ 上の滑らかな多様体であり、函子的で、$M$ に沿った多項式ファイバー束であり、$V_\mathbb{A} = V \otimes_\mathbb{K} \mathbb{A}$ を通じたスカラー拡張と整合的であり、接束やジャンクツォン束を一般化する。

ABSTRACT

We construct the Weil functor $T^A$ corresponding to a general Weil algebra $A = K \oplus N$: this is a functor from the category of manifolds over a general topological base field or ring $K$ (of arbitrary characteristic) to the category of manifolds over $A$. This result simultaneously generalizes results known for ordinary, real manifolds, and previous results by the first author for the case of the higher order tangent functors ($A = T^k K$) and for the case of jet rings ($A = K[X]/(X^{k+1})$). We investigate some algebraic aspects of these general Weil functors ("K-theory of Weil functors", action of the "Galois group" $\Aut_K(A)$), which will be of importance for subsequent applications to general differential geometry.

研究の動機と目的

• 任意の有限次元ウェイル代数（正の特性や体でない基本環も含む）$\mathbb{K}$ 上にウェイルファンクターを一般化すること。
• スカラー拡張を用いて、高次接束とジャンクツォン環の構成を一つの枠組みで統一すること。
• $T^\mathbb{A}M$ に滑らかな写像およびカルテシアン積と整合的な函手的・多項式ファイバー束構造を確立すること。
• ウェイルファンクター枠組みを通じて、$K$-理論やガロア群作用といった代数的道具を微分幾何学に導入すること。

提案手法

• ウェイル $\mathbb{K}$-代数を、$\mathcal{N}$ が $\mathbb{K}$-加群として有限次元で自由かつ冪零であるときの $\mathbb{A} = \mathbb{K} \oplus \mathcal{N}$ として定義する。
• $T^\mathbb{A}M$ を局所座標がファイバー座標に関して多項式であるような、$\mathbb{A}$ 上の滑らかな多様体として構成する。
• $V$ をトポロジカルな $\mathbb{K}$-加群とするとき、$U \subset V$ である開部分多様体に対して、$V_\mathbb{A} = V \otimes_\mathbb{K} \mathbb{A}$ を用いて $T^\mathbb{A}U$ を同定する。
• 多項式的な写像に対して、誘導された写像 $T^\mathbb{A}f$ が代数的スカラー拡張 $f_\mathbb{A}$ と一致することを証明する。
• テンソル積の普遍性と多重線形写像の連続性を用いて、函手性および積との整合性を確立する。
• $M_\mathbb{A} := T^\mathbb{A}M$ を $M$ のスカラー拡張として定義し、双対数のための $TM$ の役割を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のウェイル代数（正の特性を含む）に対して、一般の基本環上でのウェイルファンクターを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 ウェイルファンクター $T^\mathbb{A}$ は微分幾何学における古典的接束やジャンクツォン束をどのように一般化するか？
• RQ3 代数幾何学におけるスカラー拡張構成が、任意のトポロジカル環上の滑らかな多様体の文脈でどのように現れるか？
• RQ4 ウェイルファンクター $T^\mathbb{A}$ の函手的性質から、$K$-理論やガロア作用といった代数的構造はどのように生じるか？
• RQ5 ウェイルファンクター $T^\mathbb{A}$ は、その函手的性質、多項式性、スカラー拡張との整合性によって一意に特徴づけられるか？

主な発見

• $T^\mathbb{A}$ は、函手性、積との整合性、$M$ に沿った多項式ファイバー束構造によって一意に決定される。
• 任意の開部分多様体 $U \subset V$ に対して、$T^\mathbb{A}U$ は自然に $V_\mathbb{A} \to V$ における $U$ の逆像として同定される。ここで $V_\mathbb{A} = V \otimes_\mathbb{K} \mathbb{A}$ である。
• 多項式的な写像 $f: U \to W$ に対して、誘導された写像 $T^\mathbb{A}f$ は代数的スカラー拡張 $f_\mathbb{A}: V_\mathbb{A} \to W_\mathbb{A}$ と一致し、代数幾何学と整合的であることが保証される。
• この構成により、$T^\mathbb{A}M$ はファイバー座標に関して多項式である移動関数を持つ、$M$ 上の多項式ファイバー束としての構造を備える。
• ウェイルファンクター $T^\mathbb{A}$ は古典的構成を一般化する：$\mathbb{A} = \mathbb{K} \oplus \varepsilon\mathbb{K}$ かつ $\varepsilon^2 = 0$ のとき $T^\mathbb{A}M$ は接束に還元され、$\mathbb{A} = \mathbb{K}[X]/(X^{k+1})$ のときジャンクツォン束に還元される。
• $p_\mathbb{A}$ を連続な多項式写像 $p$ のスカラー拡張とする。$p_\mathbb{A}$ は連続的かつ $\mathbb{A}$-多項式的であり、成分 $M^\boldsymbol{\alpha}$ はテンソル積の普遍性および多重線形写像の性質により連続である。