[論文レビュー] A General Mechanism of Diffusion in Hamiltonian Systems: Qualitative Results

Marian Gidea, Rafael de la Llave+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、通常の双曲的不変多様体へのホモクライン軌道に沿った外部ダイナミクスから導かれる散乱写像を用い、内部ダイナミクスのポincare再帰性とを組み合わせることで、ほぼ可積分なハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の証明に向けた新しいメカニズムを提示する。この方法により、内部ダイナミクスの詳細な知識、ねじれ条件、あるいは非摂動系の凸性に関する情報が不要であるにもかかわらず、散乱写像の繰り返し適用によって生成される擬似軌道をシャドーイングする真の拡散軌道の存在が確立される。

ABSTRACT

We present a general mechanism to establish the existence of diffusing orbits in a large class of nearly integrable Hamiltonian systems. Our approach relies on successive applications of the `outer dynamics' along homoclinic orbits to a normally hyperbolic invariant manifold. The information on the outer dynamics is encoded by a geometrically defined map, referred to as the `scattering map'. We find pseudo-orbits of the scattering map that keep advancing in some privileged direction. Then we use the recurrence property of the `inner dynamics', restricted to the normally hyperbolic invariant manifold, to return to those pseudo-orbits. Finally, we apply topological methods to show the existence of true orbits that follow the successive applications of the two dynamics. This method differs, in several crucial aspects, from earlier works. Unlike the well known `two-dynamics' approach, the method we present relies on the outer dynamics alone. There are virtually no assumptions on the inner dynamics, as its invariant objects (e.g., primary and secondary tori, lower dimensional hyperbolic tori and their stable/unstable manifolds, Aubry-Mather sets) are not used at all. The method applies to unperturbed Hamiltonians of arbitrary degrees of freedom that are not necessarily convex. In addition, this mechanism is easy to verify (analytically or numerically) in concrete examples, as well as to establish diffusion in generic systems. We include several applications, such as bridging large gaps in a priori unstable models in any dimension, and establishing diffusion in cases when the inner dynamics is a non-twist map.

研究の動機と目的

• 任意の自由度を持つほぼ可積分なハミルトニアン系における拡散軌道の存在を示す一般的で検証可能な方法の開発。
• KAMトーラス、Aubry-Mather集合、またはねじれ条件の詳細な解析に依存する従来の手法の制限を克服すること。
• 一般の摂動条件下で、事前不安定なモデルや非ねじれ写像を含む広範な系族において拡散を確立すること。
• 具体的な例（例：制限三体問題など）において解析的・数値的に検証可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 通常の双曲的不変多様体上での散乱写像を幾何学的に定義し、横断的ホモクライン軌道に沿った外部ダイナミクスを符号化する。
• 散乱写像を繰り返し適用することで擬似軌道を構築し、特に作用変数の増加を示す優先方向への進行を保証する。
• 多様体上に制限された内部ダイナミクスのポincare再帰性を用い、これらの擬似軌道点の近傍に戻ることを保証する。
• トポロジカルシャドーイング技法を適用し、一般化されたシャドーイング補題（補題3.11）を用いて、擬似軌道を追う真の軌道の存在を証明する。
• 複数の横断的ホモクライン多様体や連結したヘテロクライン接続を介して複数の散乱写像を扱えるようにする。
• 通常の双曲的多様体近傍における線形化座標系を用い、多様体上以外のダイナミクスを解析し、シャドーイングにおける誤差蓄積を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KAMトーラスやAubry-Mather集合などの内部ダイナミクスの詳細な解析を必要としない、一般のアーノルド拡散のメカニズムを定式化できるか？
• RQ2 非摂動系のハミルトニアンの凸性を仮定しないで、ハミルトニアン系における拡散を確立することは可能か？
• RQ3 非ねじれ写像や作用空間の大きなギャップを有する系に対しても、このメカニズムを適用可能か？
• RQ4 変分的・幾何的アプローチに依存せず、散乱写像と再帰性のみを用いて拡散軌道の存在を証明することは可能か？
• RQ5 制限三体問題のような具体的な系において、この方法を解析的または数値的に検証可能か？

主な発見

• 内部ダイナミクスがポincare再帰性を満たす限り、摂動の大きさに依存せず作用空間でオーダー1の距離を移動する真の拡散軌道の存在が、検証可能な一般条件のもとで確立される。
• 内部ダイナミクスがポincare再帰性を満たす限り、散乱写像の繰り返し適用によって生成される無限の擬似軌道をシャドーイングする真の軌道が存在する。
• 本メカニズムは任意の自由度の非摂動系ハミルトニアンに適用可能であり、凸性やねじれ条件の仮定を必要としない。
• 内部ダイナミクスの知識がなくても、散乱写像そのものだけで拡散軌道を生成可能であり、従来の手法の大きなギャップ問題を回避できる。
• 複数の散乱写像やヘテロクライン接続に対してもロバストであり、不変多様体の複雑なネットワークへの応用が可能である。
• 固定ステップのシャドーイングでは蓄積誤差のため失敗することが反例で示されたが、本手法はシャドーイング軌道におけるステップサイズを可変にすることで誤差増大を抑制し、成功する。