[論文レビュー] A generalised Monge-Ampère equation

Vamsi Pritham Pingali|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は連続法を用いて、コンpact Kähler多様体上での一般化された複素 Monge-Ampère方程式の解の存在および正則性に関する結果を確立する。複素表面では正則性条件の下で滑らかな解が存在することを証明し、3次元多様体ではヘッセ行列が下から有界である場合に拡張され、X.X. Chenの予想の局所的実版を確認し、単位球体上での det(D²u) − Δu = f かつ境界上での値が0である特定のDirichlet問題の解の存在および一意性を示す。

ABSTRACT

We consider a generalised complex Monge-Ampère equation on a compact Kähler manifold and treat it using the method of continuity. For complex surfaces, we prove an easy existence result. We also prove that (for three-folds and a related real PDE in a ball), as long as the Hessian is bounded below by a pre-determined constant (whilst moving along the method of continuity path), a smooth solution exists. Finally, we prove existence for another real PDE in a 3-ball, which is a local, real version of a conjecture of X.X. Chen.

研究の動機と目的

• 連続法を用いて、コンpact Kähler多様体上での一般化された複素 Monge-Ampère方程式の解の存在および正則性を確立すること。
• 複素 Monge-Ampère方程式に関する既知の結果を、複数の閉形式を含むより広い方程式のクラスへと拡張すること。
• 単位球体上での det(D²u) − Δu = f かつ境界上での値が0である、X.X. Chenの予想の局所的実版に対応する問題の解の存在および一意性を証明すること。
• 一般化された方程式の文脈において、解写像のための事前推定および開写像性に関する結果を提供すること。
• 連続的経路に沿ってヘッセ行列の下からの有界性が保証されれば、3次元の場合に滑らかな解が存在することを示すこと。

提案手法

• 既知の標準Monge-Ampère方程式の解を、一般化された方程式の解に連続的に変形する連続法を用いる。
• 最大値原理およびHessianと解のラプラシアンに関する楕円型理論を用いて、事前推定 C⁰, C¹, C², C²,α を適用する。
• バナッハ多様体上の陰関数定理を用いて、係数パラメータ空間における解写像の開性を証明する。
• 線形化作用素を解析し、ヘッセ行列の行列式とラプラシアンの組み合わせの凹性を用いて C²,α 推定を導出する。
• ヘッセ行列固有値に下界（例：>3）を課すことで、一様楕円型性を保証し、Schauder理論を適用する。
• 粘性解理論および最大値原理の議論を用いて、C⁰およびC¹推定を導出し、特に2次バリア関数による比較を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体上での一般化された複素 Monge-Ampère方程式が、連続法を用いて滑らかな解をもつための条件は何か？
• RQ2 ヘッセ行列が連続的経路に沿って下から有界であれば、複素3次元多様体上でも滑らかな解が保証されるか？
• RQ3 単位球体上での det(D²u) + Δu = tf + (1−t)36 かつ u|∂B = 0 という局所的実PDE版のChenの予想—具体的には、f > 0 かつ境界上での値が0—は、一意な滑らかな凸解をもつか？
• RQ4 一般化された方程式における φ 及びその微分係数の事前推定は、係数および右辺 η にどのように依存するか？
• RQ5 すべての αi が正で η > 0 のとき、一般化されたMonge-Ampère方程式の解は定数の加法的不変性を除いて一意的か？

主な発見

• 複素表面（n=2）では、α₀=1 かつ η − α₂ + α₁²/4 > 0、および ω + ddᶜφ + α₁/2 > 0 の条件下で、一意な滑らかな解が存在する。
• 複素3次元多様体では、連続的経路に沿って φ のヘッセ行列が正の定数から下界をもつ場合に、滑らかな解が存在し、解写像は開である。
• 単位球体上での実Dirichlet問題について、det(D²u) + Δu = tf + (1−t)36 かつ u|∂B = 0 のとき、すべての t∈[0,T) に対して D²uₜ > 3 かつ解が存在するならば、t=T で一意な滑らかな解が存在する。
• Chenの予想の局所的実版は解決された：f > 0 かつ u|∂B = 0 のとき、単位球体上での方程式 det(D²u) − Δu = f は一意な滑らかな凸解をもつ。
• C⁰ 推定は、二次バリア φ = (μ/2)r² − μ/2 を用いた比較により得られ、μ³ − 3μ > max f を満たすことで、u ≥ φ となり、u が下から有界であることが保証される。
• C² 推定は、g = Δu + μ(u − u₀) を構成し、最大値原理を用いて Δu が有界であることを示すことで達成され、これにより D²u が有界であることが示される。