[論文レビュー] A Generalization of Bernstein-Vazirani Algorithm to Qudit Systems

R Narayanan Krishna, Vishesh Makwana+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子ビット系（d=2）からd次元量子系（qudit）へのBernstein-Vazirani量子アルゴリズムの一般化を提示する。qubitに依存するハダマードゲートの代わりに一般化された離散フーリエ変換（DFT）ゲートを用い、隠し文字列sの位相符号化を施した重ね合わせ状態を構築し、DFTに基づくフーリエサンプリングを用いて1回のクエリでsを抽出する。この結果、次元が高次であっても定数クエリ複雑度Ω(1)を達成する。

ABSTRACT

A quantum algorithm to solve the parity problem is better than its most efficient classical counter- part with a separation that is polynomial in the number of queries. This was shown by E. Bernstein and U. Vazirani and was one of the earliest indications that the quantum information processing can outperform the classical one by a significant margin. The problem and its solution both is usually stated for a 2-level system since we generally work with bits/qubits. However, many works have been done generalizing known quantum computing techniques to higher level systems. Following this, we look at a generalization of the Bernstein-Vazirani algorithm implemented on a general qudit system.

研究の動機と目的

• qubit系（d=2）に限定されたBernstein-Vaziraniアルゴリズムを、任意の次元dを持つqudit系へ拡張すること。
• Z_d^n上での一般化されたパリティ問題を定義し、隠し文字列sを関数f_s(x) = s·x mod dとして符号化すること。
• 1回のオракルクエリのみを用いて隠し文字列sを特定する量子アルゴリズムを構築し、指数的量子優位性を一般化すること。
• 状態|ψ_s⟩ = 1/√(d^n) Σ_x ω^{s·x} |x⟩ がDFTを用いて準備可能であり、測定によりsを回復できることを示すこと。
• s ≠ tのとき状態|ψ_s⟩と|ψ_t⟩が直交することを確立し、フーリエサンプリングによる明確な状態識別を保証すること。

提案手法

• 隠し文字列sが未知であると仮定し、f_s: {0,1,...,d−1}^n → {0,1,...,d−1} と定義する。ここでf_s(x) = s·x mod d である。
• 初期状態として、|0⟩^⊗n に一般化DFTゲート（F^⊗n）を適用し、均一重ね合わせ状態 |Ψ⟩ = 1/√(d^n) Σ_x |x⟩ を得る。
• オラクルf_s(x)を制御として用い、状態|ϕ⟩ = Σ_{j=0}^{d-1} ω^{d-j} |j⟩ にあるターゲットクオンツを用いた制御位相操作を適用する。ここでω = e^{2πi/d} である。
• SUMゲート（mod d加算）を制御ビットiに適用すると、位相シフトω^iが発生し、これによりf_s(x)が状態に位相として符号化される。
• その結果、状態は |Ψ⟩ ⊗ |ϕ⟩ となり、位相がω^{s·x} に符号化された状態に変化する。これは状態 |ψ_s⟩ = 1/√(d^n) Σ_x ω^{s·x} |x⟩ に等しい。
• |ψ_s⟩ に逆DFT（F^⊗n）を適用することで、|ψ_s⟩ は |s⟩ にマッピングされ、隠し文字列sが確率1で測定可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d > 2 のqudit系に対し、Bernstein-Vaziraniアルゴリズムを一般化できるか？
• RQ2 関数f_s(x) = s·x mod d の構造は何か？また、量子高速化に必要な線形性をどのように保っているか？
• RQ3 1回のオラクルクエリを用いて、状態|ψ_s⟩ = 1/√(d^n) Σ_x ω^{s·x} |x⟩ をどのように効率的に準備できるか？
• RQ4 s ≠ t のとき、状態|ψ_s⟩と|ψ_t⟩が直交するか？これは明確な状態識別を保証するか？
• RQ5 一般化されたアルゴリズムの量子クエリ複雑度は何か？また、元のqubit版と同様に定数複雑度Ω(1)を維持するか？

主な発見

• 一般化されたBernstein-Vaziraniアルゴリズムは、qudit系に対してもΩ(1)の量子クエリ複雑度を達成し、元のqubit系と同等の性能を示す。
• 状態|ψ_s⟩ = 1/√(d^n) Σ_x ω^{s·x} |x⟩ は、1回のオラクルクエリと、|ϕ⟩状態にあるターゲットクオンツを用いた制御位相操作により構築可能である。
• s ≠ t のとき、状態|ψ_s⟩と|ψ_t⟩は直交しており、⟨ψ_s|ψ_t⟩ = δ_{s,t} により、完全に区別可能である。
• 逆DFT（F^⊗n）によるフーリエサンプリングにより、|ψ_s⟩ は |s⟩ にマッピングされ、1回のクエリで隠し文字列sを正確に回復可能である。
• qubit系におけるハダマード変換の一般化として、d次元DFTが用いられ、クエリ複雑度における量子優位性が保たれている。
• 構成は、代数的性質 ∑_x ω^{x·(s−t)} = d^n δ_{s,t} に依存しており、これが直交性を保証し、明確な状態同定を可能としている。