[論文レビュー] A Generalization of the Hausdorff Dimension Theorem for Fractals

Mohsen Soltanifar|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、一般化された均一カントール集合とその積を用いた決定的枠組みを構築することで、任意の指定されたハウスドルフ次元と正のレベーグ測度を持つ R^n 内の仮想フラクタルの存在を証明する。ハウスドルフ次元定理を一般化し、測度が正であるフラクタルの存在を示す。このようなフラクタルの集合の濃度はベート・ツーに達することを示し、従来の測度ゼロに限局された結果を拡張する。構成的かつ明示的な方法により、任意のハウスドルフ次元と正のレベーグ測度を持つフラクタルを生成可能である。

ABSTRACT

How many fractals exist in nature or the virtual world In this work, we partially answer the second question using Mandelbrots fundamental definition of fractals and their quantities of the Hausdorff dimension and Lebesgue measure. We prove the existence of beth-two of virtual fractals with a Hausdorff dimension of a bivariate function of them and the given Lebesgue measure. The question remains unanswered for other fractal dimensions.

研究の動機と目的

• 文献における、正のレベーグ測度と任意のハウスドルフ次元を持つフラクタルの存在に関する空白を埋めること。
• 従来の測度ゼロに限局された存在定理を拡張し、正のレベーグ測度を組み込むこと。
• 指定されたハウスドルフ次元とレベーグ測度を持つフラクタルを生成する構成的枠組みを確立すること。
• このようなフラクタルの集合の濃度を特定し、それがベート・ツーに達することを示すこと。
• 将来のランダムおよび一般化フラクタルの研究の基盤を提供すること、決定的構成を超える分野へ。

提案手法

• パrameter化された除去シーケンス {β_n} を用いて、R 内で対称的な開区間を再帰的に除去することで、一般化された均一カントール集合を構築する。
• 均一カントール集合 C_{β_n}(s,l) を、入れ子になったコンパクト集合の共通部分として定義し、それがレベーグ測度 l と s および β に依存するハウスドルフ次元を持つことを保証する。
• このようなカントール集合の可算個の和集合の有限カルテシアン積を用いて、R^n 内の高次元フラクタルを構成する。
• トポロジー的次元（小インダクティブ次元）を用いてフラクタル構造を検証し、基本的なカントール集合に対して dim_ind(F) = 0 であることを示す。
• カントール＝シュレーディンガー＝ベルンシュタインの定理を適用し、このようなフラクタルの集合の濃度がベート・ツーに達することを証明する。
• 構成された集合がマンデルブロのフラクタル定義を満たすことを確立する：非整数のハウスドルフ次元と、細かく不規則な構造を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^n 内で、任意の指定されたハウスドルフ次元と正のレベーグ測度を持つフラクタルを、構成的かつ明示的に存在させることは可能か？
• RQ2 指定されたハウスドルフ次元とレベーグ測度を持つこのようなフラクタルの集合の濃度は何か？
• RQ3 正の測度を持つフラクタルの存在は、従来の測度ゼロに限局された既知の結果を拡張するか？
• RQ4 フラクタルの濃度は、フラクタル次元および s や β のような構造的パラメータにどのように依存するか？
• RQ5 この構成的メソッドは、ランダムまたは非決定的フラクタル構成へ拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、一般化された均一カントール集合を用いて、任意の指定されたハウスドルフ次元と正のレベーグ測度を持つフラクタルの族を構築する。
• 構築されたフラクタルはレベーグ測度 l > 0 を持ち、ハウスドルフ次元が s と β の二変数関数として表され、任意の所望の値に調整可能である。
• このようなフラクタルの集合の濃度はベート・ツーに達し、R^n の冪集合や他の大規模な数学的集合と等濃度である。
• 証明は構成的であり、純粋に存在証明に依存するものとは異なり、任意のハウスドルフ次元とレベーグ測度に対してフラクタルを明示的に生成可能である。
• 基本的なカントール集合のトポロジー的次元はゼロであり、マンデルブロのフラクタル構造要件を満たす。
• このメソッドは、R^n 内の非フラクタルの集合の濃度がベート・ツーに達することを示すように変更可能であり、R^n 内の集合空間の広大さを強調する。