[論文レビュー] A Generalization of the Tristram-Levine Knot Signatures as a Singular Furuta-Ohta Invariant for Tori

Mariano Echeverria|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$S^1 \times S^3$ のホモロジーを持つ4次元多様体に埋め込まれたトーラスに対する、一般化されたトリストラム＝レヴィンのねじれ符号数を、特異なフリュータ＝オーハの不変量として導入する。トーラスの補空間の不変な$SU(2)$表現の符号付き数（パrameter $α \in (0,1/2)$ でパrameter化された）を定義することで、積の場合にカスン＝リン＝ヘラルド不変量を回復し、ねじれ符号数不変量をトーラスへと拡張するとともに、インスタントンフローホモロジーとドナルドソン型不変量とを結びつける。

ABSTRACT

Given a knot $K$ inside an integer homology sphere $Y$, the Casson-Lin-Herald invariant can be interpreted as a signed count of conjugacy classes of irreducible representations of the knot complement into $SU(2)$ which map the meridian of the knot to a fixed conjugacy class. It has the interesting feature that it determines the Tristram-Levine signature of the knot associated to the conjugacy class chosen. Turning things around, given a 4-manifold $X$ with the integral homology of $S^{1} imes S^{3}$, and an embedded torus $T$ inside $X$ such that $H_{1}(T;\mathbb{Z})$ surjects onto $H_{1}(X;\mathbb{Z})$, we define a signed count of conjugacy classes of irreducible representations of the torus complement into $SU(2)$ which satisfy an analogous fixed conjugacy class condition to the one mentioned above for the knot case. Our count recovers the Casson-Lin-Herald invariant of the knot in the product case, thus it can be regarded as implicitly defining a Tristram-Levine signature for tori. This count can also be considered as a singular Furuta-Ohta invariant, and it is a special case of a larger family of Donaldson invariants which we also define. In particular, when $(X,T)$ is obtained from a self-concordance of a knot $(Y,K)$ satisfying an admissibility condition, these Donaldson invariants are related to the Lefschetz number of an Instanton Floer homology for knots which we construct. Moreover, from these Floer groups we obtain Frøyshov invariants for knots which allows us to assign a Frøyshov invariant to an embedded torus whenever it arises from such a self-concordance.

研究の動機と目的

• ホモロジーが $S^1 \times S^3$ に等しい4次元多様体に埋め込まれたトーラスへのトリストラム＝レヴィンのねじれ符号数不変量の一般化を達成すること。
• トーラスの補空間の不変な $SU(2)$ 表現の符号付き数を、ミリヤンの共轭類を固定するものとして定義し、ねじれ不変量の類似を実現すること。
• 積の場合 $X = S^1 \times Y$ において、この数がカスン＝リン＝ヘラルド不変量を回復することを示し、ねじれ符号数不変量をトーラスへ一般化すること。
• この不変量を新しいドナルドソン不変量の族と関連づけ、縦方向構造を介してねじれ不変量のためのインスタントンフローホモロジーを構成すること。
• ねじれ不変量をねじれ不変量の定義を用いて定義し、自己同調的コンカーデンスを介してトーラスへ拡張すること。

提案手法

• トーラスの補空間の基本群 $\pi_1(X \setminus T)$ の不変な $SU(2)$ 表現の符号付き数 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha) \in \mathbb{Z}$ を定義し、その表現がミリヤンの共轭類を固定するものとする（パrameter $\alpha \in (0,1/2)$ でパrameter化）。
• ホモロジー群 $H_1(T;\mathbb{Z})$ が $H_1(X;\mathbb{Z})$ に全射であるという条件を用いて、不変量が適切に定義され、位相的に意味を持つことを保証する。
• フリュータ＝オーハの不変量を一般化する、ドナルドソン不変量の族を構成し、トーラス不変量をその特別な場合とする。
• 4次元多様体内の縦方向構造を用いて定義される新しいインスタントンフローホモロジーのリシュツェツ数と不変量を関連付ける。
• オーロイド版のインスタントンフローホモロジー $HIL(Y_0, K_0, \alpha)$ を用いて、不変量をオービフォールドのオイラー乗数として解釈し、特に $X = S^1 \times Y$ の場合に注目する。
• フローホモロジーを用いてねじれ不変量を定義し、自己同調的コンカーデンスを介してトーラスへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トリストラム＝レヴィンのねじれ符号数は、$S^1 \times S^3$ のホモロジーを持つ4次元多様体に埋め込まれたトーラスへ一般化可能か？
• RQ2 トーラス $T \subset X$ とパrameter $\alpha \in (0,1/2)$ に対して、ミリヤンの共轭類を固定する不変な $SU(2)$ 表現の符号付き数が適切に定義されるための条件は何か？
• RQ3 積の場合 $X = S^1 \times Y$ において、提案された不変量 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$ とカスン＝リン＝ヘラルド不変量 $\lambda_{CLH}(Y,K,\alpha)$ の関係は何か？
• RQ4 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$ とオービフォールドインスタントンフローホモロジー $HIL(Y_0, K_0, \alpha)$ のオイラー乗数の関係は何か？
• RQ5 ねじれ不変量は、自己同調的コンカーデンスを介してトーラスへ拡張可能か？

主な発見

• 不変量 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$ は、積の場合 $X = S^1 \times Y$ においてカスン＝リン＝ヘラルド不変量 $\lambda_{CLH}(Y,K,\alpha)$ を回復する。これにより、ねじれ符号数不変量がトーラスへ一般化される。
• $X = S^1 \times S^3$ かつ $T = S^1 \times$ トレヴィア（無結び）の場合、すべての $\alpha$ に対して不変量 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$ は0に等しくなる。これは、ホモロジー球面上の $S^1$-バンドルから得られるトーラスに対して、このような不変量が0に等しいという予想を支持する。
• 不変量 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$ は、ノビコフ環上の縦方向インスタントンフローホモロジー $HIL(Y_0, K_0, \alpha)$ のオイラー乗数に等しいと予想されており、$\alpha \in \mathbb{Q} \cap (0,1/2)$ の場合に $\chi(HIL(Y_0, K_0, \alpha)) = 2\triangle_K''(1)$ が成り立つ。
• 本構成により、フリュータ＝オーハの不変量を一般化する新しいドナルドソン型不変量の族が得られ、これはインスタントンフローホモロジーのリシュツェツ数と関連している。
• ねじれ不変量は、新しいフローホモロジーを用いて定義され、自己同調的コンカーデンスを介してトーラスへ拡張可能である。
• 不変量 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$ は特異なフリュータ＝オーハの不変量として示され、$S^1$-バンドル上のホモロジー球面の逆像として得られるトーラスに対しては、$\triangle_K''(1)$ の0化に基づき、0に等しいと予想されている。