[論文レビュー] A Generalized Faulhaber Inequality, Improved Bracketing Covers, and Applications to Discrepancy

Michael Gnewuch, Hendrik Pasing+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 55被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、原点に固定されたd次元軸に平行なボックスの括り込み数の上限を改善するための一般化されたFaulhaberの不等式を導入する。この不等式を活用することで、負の依存性を示す確率的点集合のスターディスcreパンシーおよび重み付きスターディスクリプアンシーに対するより鋭い上界が得られ、前漸近的境界が著しく向上し、低ディスクリプアンシー点集合の推定およびアルゴリズム的構築が可能になる。

ABSTRACT

We prove a generalized Faulhaber inequality to bound the sums of the $j$-th powers of the first $n$ (possibly shifted) natural numbers. With the help of this inequality we are able to improve the known bounds for bracketing numbers of $d$-dimensional axis-parallel boxes anchored in $0$ (or, put differently, of lower left orthants intersected with the $d$-dimensional unit cube $[0,1]^d$). We use these improved bracketing numbers to establish new bounds for the star-discrepancy of negatively dependent random point sets and its expectation. We apply our findings also to the weighted star-discrepancy.

研究の動機と目的

• 0 ≤ r ≤ 1 におけるシフトされた累乗 (i + r)^j の和に対して一般化されたFaulhaberの不等式を導出すること。
• 原点に固定されたd次元軸に平行なボックスの括り込み数 N[ ](d, δ) の上界を改善すること。
• 負の依存性を示す確率的点集合のスターディスクリプアンシーに対するより鋭い前漸近的境界を確立すること。
• これらの結果を重み付きスターディスクリプアンシーに拡張し、既存の確率的ディスクリプアンシー境界を改善すること。

提案手法

• 一般化されたFaulhaberの不等式を導出：0 ≤ r ≤ 1 に対して ∑_{i=1}^n (i + r)^j ≤ (n + r)^{j+1}/(j+1) + (n + r)^j /2 + j(n + r)^{j-1}/12 が成り立つこと。
• この不等式を用いて、[0,1]^d に対する明示的かつ改善された δ-被覆および括り込み被覆を構築すること。
• 改善された括り込み数の境界を応用し、負の依存性を示す確率的点集合のスターディスクリプアンシーを分析すること。
• ダイアディックチェイン法と集中不等式を活用し、γ-負の依存性下での確率的ディスクリプアンシー境界を導出すること。
• 改善された括り込み数を用いて、重み付きスターディスクリプアンシーおよび分散に関する既存の境界を精緻化すること。
• 結果をモンテカルロおよび準モンテカルロ点集合に適用し、積分誤差およびアルゴリズム的効率に関するより鋭い境界が得られることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シフトされた和 (i + r)^j に対する一般化されたFaulhaberの不等式は、高次元における括り込み数の境界を改善できるか？
• RQ2 改善された括り込み数の境界は、負の依存性を示す点集合の前漸近的ディスクリプアンシー境界にどのように影響するか？
• RQ3 一般化されたFaulhaberの不等式を用いて、既存の重み付きスターディスクリプアンシーの境界をさらに鋭くできるか？
• RQ4 γ-負の依存性は、確率的点集合の確率的ディスクリプアンシー境界にどのような影響を及えるか？
• RQ5 改善された括り込み数は、ディスクリプアンシーの計算や低ディスクリプアンシー集合の構築におけるより効率的なアルゴリズムの構築に寄与できるか？

主な発見

• 一般化されたFaulhaberの不等式は、正の係数を伴う ∑_{i=1}^n (i + r)^j に対して鋭い上界を提供し、括り込み数のより鋭い解析を可能にする。
• 括り込み数 N[ ](d, δ) は、max{1.1^{d-101}, 1} · d^d / d! · (δ^{-1} + 1)^d で上界され、従来の境界を著しく改善する。
• モンテカルロ点集合の場合、重み付きスターディスクリプアンシーは 0.7723 / √N · max_{∅≠u⊆[d]} γ_u · √(11.78864 + log(d) − (1 + 1/(2|u|)) log(|u|)) / √|u| で上界される。
• γ-負の依存性下では、スターディスクリプアンシーは高い確率で c · max_u γ_u · √(|u|/N) で上界され、確率の境界は c, d, ρ に依存する。
• 改善された括り込み数は、より良い前漸近的境界をもたらし、ディスクリプアンシーの計算および低ディスクリプアンシー集合の構築のためのより効率的な手法の実現を可能にする。
• 結果は極端なディスクリプアンシーおよび分散にまで拡張可能であり、数値積分や最適化分野における広範な応用可能性を示唆する。