[論文レビュー] A Generalized Index Theorem for Morse-Sturm Systems and Applications to semi-Riemannian Geometry

Fabio Giannoni, Antonio Masiello+2 more|ArXiv.org|Aug 13, 1999

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特にローレンツ多様体における半リーマン幾何学に現れる非自己随伴モース＝ストゥーム系へモース指数定理を一般化する。作用汎関数の測地線に沿う第二変分の指数と、測地線のマスロウ指数および初期部分多様体上の計量の指数との和の関係を確立し、可変端点を持つ静的ローレンツ時空へのグローバル・モース関係を拡張する。

ABSTRACT

We prove an extension of the Index Theorem for Morse-Sturm systems of the form $-V''+RV=0$, where R is symmetric with respect to a (non positive) symmetric bilinear form, and thus the corresponding differential operator is not self-adjoint. The result is then applied to the case of a Jacobi equation along a geodesic in a Lorentzian manifold, obtaining an extension of the Morse Index Theorem for Lorentzian geodesics with variable initial endpoints. Given a Lorentzian manifold (M,g), we consider a geodesic $γ$ in M starting orthogonally to a smooth submanifold P of M. Under suitable hypotheses, satisfied, for instance, if (M,g) is stationary, the theorem gives an equality between the index of the second variation of the action functional f at $γ$ and the sum of the {\em Maslov index} of $γ$ with the index of the metric g on P. Under generic circumstances, the Maslov index of $γ$ is given by an algebraic count of the P-focal points along $γ$. Using the Maslov index, we obtain the global Morse relations for geodesics between two fixed points in a stationary Lorentzian manifold.

研究の動機と目的

• 半リーマン幾何学における非自己随伴モース＝ストゥーム系への古典的モース指数定理の拡張。
• 非正定値計量を有するローレンツ多様体における測地線に沿う作用汎関数の第二変分の取り扱い。
• マスロウ指数を、測地線に沿うP-焦点点の数え上げとして幾何的不変量として組み込む。
• 固定された二点を結ぶ測地線に対する静的ローレンツ時空におけるグローバル・モース関係の確立。
• 非コンパクトまたは不定計量の設定において、スペクトル的およびシンプレクティック的不変量を用いた第二変分の指数の計算フレームワークの提供。

提案手法

• 非正定値双線形形式に関して対称である行列 $ R $ を用いて、$ -V'' + RV = 0 $ としてモース＝ストゥーム系を形式化。
• マスロウ指数を位相的不変量として用いた、このような非自己随伴系に対する一般化された指数定理の導入。
• 測地線に沿うP-焦点点の代数的数え上げとしてマスロウ指数を定義し、これは部分多様体 $ P $ に対する共役点を意味する。
• ローレンツ多様体における測地線に沿うジャコビ方程式に、一般化された指数定理を適用。初期条件として部分多様体 $ P $ に直交する。
• ジャコビ場の空間のシンプレクティック構造を用いて、マスロウ指数と第二変分作用素のスペクトル的性質との関係を確立。
• 適切な幾何的条件下で、第二変分の指数とマスロウ指数および $ P $ 上の計量指数との和が等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半リーマン幾何学に現れる非自己随伴微分作用素に対するモース指数定理をどのように拡張できるか？
• RQ2 可変端点を持つローレンツ多様体における測地線の第二変分の指数を特徴付ける際、マスロウ指数が果たす役割は何か？
• RQ3 測地線に沿うP-焦点点は、静的ローレンツ時空におけるグローバル・モース関係にどのように寄与するか？
• RQ4 初期部分多様体 $ P $ 上の計量の符号型が第二変分の指数にどのように影響するか？
• RQ5 一般化された指数定理を用いて、静的ローレンツ多様体における二つの固定点を結ぶ測地線に対するグローバル・モース関係を導出可能か？

主な発見

• ローレンツ多様体における測地線に沿う作用汎関数の第二変分の指数は、測地線のマスロウ指数と初期部分多様体 $ P $ 上の計量の指数との和に等しい。
• マスロウ指数は、測地線に沿うP-焦点点の代数的数え上げとして計算され、スペクトルデータの幾何的解釈を提供する。
• 一般化された指数定理は、標準内積に関して対称でない微分作用素を有する非自己随伴モース＝ストゥーム系に適用可能である。
• 静的ローレンツ多様体において、二つの固定点を結ぶ測地線に対するグローバル・モース関係は、マスロウ指数と $ P $ 上の計量指数を用いて導出される。
• 本結果は、可変初期端点および不定計量を伴う状況への古典的モース指数定理の拡張を提供し、半リーマン幾何学におけるグローバル解析の強力な道具を提供する。
• 本フレームワークにより、ジャコビ作用素が自己随伴でない場合でも、第二変分の指数が位相的および幾何的不変量の観点から計算可能となる。