[論文レビュー] A generalized Kontsevich-Vishik trace for Fourier Integral Operators and the Laurent expansion of $\zeta$-functions

Tobias Hartung, Simon Scott|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ゲージ付き多対数同次分布の理論を構築することで、特異な振幅を持つフーリエ積分作用素（FIOs）に対する一般化されたコンツェビッチ＝ヴィシクのトレースを導入する。静止位相近似を用いて、このようなFIOと関連するζ関数の完全なローレンツ展開を計算し、位相関数と振幅関数を用いた係数の明示的公式を導出する。主な貢献は、極が単純でない場合や特異な記号を持つ場合を含め、FIOトレースのζ正則化を体系的に行うフレームワークを提供することである。応用例として波動トレースや分数ラプラシアンが含まれる。

ABSTRACT

Based on Guillemin's work on gauged Lagrangian distributions, we will introduce the notion of a poly-$\log$-homogeneous distribution as an approach to $\zeta$-functions for a class of Fourier Integral Operators which includes cases of amplitudes with asymptotic expansion $\sum_{k\in\mathbb{N}}a_{m_k}$ where each $a_{m_k}$ is $\log$-homogeneous with degree of homogeneity $m_k$ but violating $\Re(m_k) o-\infty$. We will calculate the Laurent expansion for the $\zeta$-function and give formulae for the coefficients in terms of the phase function and amplitude as well as investigate generalizations to the Kontsevich-Vishik quasi-trace. Using stationary phase approximation, series representations for the Laurent coefficients and values of $\zeta$-functions will be stated explicitly. Additionally, we will introduce an approximation method (mollification) for $\zeta$-functions of Fourier Integral Operators whose symbols have singularities at zero by $\zeta$-functions of Fourier Integral Operators with regular symbols.

研究の動機と目的

• コンツェビッチ＝ヴィシクのトレースを特異的または対数同次的振幅を持つフーリエ積分作用素に体系的に拡張するための欠落を補う。
• 振幅が対数項を含み、非減衰する同次次数を持つFIOの一般化されたζ関数理論を構築する。
• このようなFIOに関連するζ関数のローレンツ展開係数の明示的公式を提供する。
• 極が単純でない臨界定常状態においても、コンツェビッチ＝ヴィシクのトレースを一般化し、特異な記号を持つ作用素へと拡張する。
• 特異な振幅を持つFIOのζ関数を、正則化された類似作用素を用いて近似するためのモリフィケーション法を導入する。

提案手法

• ゲールマンのゲージ付きラグランジュ的分布を一般化し、任意の実数の同次次数を持つ対数同次項を含むゲージ付き多対数同次分布を定義する。
• 静止位相近似を用いて、FIOのζ関数のローレンツ係数の級数表現を導出する。
• 特異な振幅を零点で正則化するためのモリフィケーション手順を構築し、滑らかな記号を持つFIOに近似する。
• 位相関数、振幅関数、マスロフ係数を用いたζ関数の定数項（留数）の明示的積分公式を導出する。
• 具体的な例（波動トレース、平坦トーラス上のシフトされた分数ラプラシアン）に理論を適用し、形式的体系の妥当性を検証する。
• メロモルフィック拡張および留数計算を用いて、ζ関数の値をリーマン・ゼータ関数やヒルベルト・ゼータ関数などの特殊関数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多対数同次的振幅を持つフーリエ積分作用素のζ関数のローレンツ展開の構造は何か？
• RQ2 コンツェビッチ＝ヴィシクのトレースは、振幅に特異的または非減衰する同次次数を持つFIOへどのように一般化できるか？
• RQ3 ζ関数における対数項および非単純極の役割は何か？ そして、それらは体系的にどのように取り扱えるか？
• RQ4 モリフィケーション法は、特異な振幅を持つFIOのζ関数の正則化をどのように可能にするか？
• RQ5 シフトされた分数ラプラシアンのζ関数とリーマン・ゼータ関数との明示的関係は何か？

主な発見

• 振幅が ∑k∈N amk であるFIOのζ関数のローレンツ展開は、コスフィアーバンドル上の積分および特異点における留数を含む級数として与えられる。ここで各 amk は同次次数 mk に対する対数同次的関数である。
• R/2πZ 上の作用素 s ↦HsHα に対して、ζ関数の定数項は ζ(s ↦HsHα)(0) = 2ζR(−α) として与えられ、リーマン・ゼータ関数と直接的な関係を示す。
• s ↦HsH−1 に対するζ関数の z=0 における留数は −2 であり、リーマン・ゼータ関数の s=1 における既知の留数と一致する。
• 一般化されたコンツェビッチ＝ヴィシクのトレースは、ζ関数のローレンツ展開における定数項として回復され、臨界定常状態および特異的状態への適用を拡張する。
• モリフィケーションを用いることで、特異な振幅を持つFIOのζ関数は、正則化されたFIOのζ関数によって近似され、その極限は一貫した結果をもたらし、手法の妥当性を裏付ける。
• R/2πZ 上のシフトされた分数ラプラシアン G = h + H に対して、s ↦Gs−1 のζ関数の z=0 における留数は −2 であり、リーマン・ゼータ関数の留数と一致し、異なるモデル間での一貫性が確認される。