[論文レビュー] A Generalized Quantum Inner Product and Applications to Financial Engineering

Vanio Markov, Charlee Stefanski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、量子アモイチュードおよび状態符号化を活用して、離散関数の重み付き和を効率的に計算できる一般化された量子内積フレームワークを導入し、バリューアットリスク（VaR）、期待値、部分モーメントなどの金融リスク指標を高速に計算可能にする。この手法は線形関数および正規分布に対して標準的な量子回路を用い、干渉ともつれを活用して、金融工学の主要なワークロードにおいて量子高速化を達成する。

ABSTRACT

In this paper we present a canonical quantum computing method to estimate the weighted sum w(k)f(k) of the values taken by a discrete function f and real weights w(k). The canonical aspect of the method comes from relying on a single linear function encoded in the amplitudes of a quantum state, and using register entangling to encode the function f. We further expand this framework by mapping function values to hashes in order to estimate weighted sums w(k)h(f(k)) of hashed function values with real hashes h. This generalization allows the computation of restricted weighted sums such as value at risk, comparators, as well as Lebesgue integrals and partial moments of statistical distributions. We also introduce essential building blocks such as efficient encodings of standardized linear quantum states and normal distributions.

研究の動機と目的

• 金融工学の応用において極めて重要な、離散関数の重み付き和を推定する標準的な量子手法の開発。
• アモイチュードと状態符号化を組み合わせることで、量子内積を一般化し、VaR や部分モーメントなどの複雑な金融指標を計算する。
• 標準化された再利用可能な量子ブロックを提供し、代表的な分布（例：正規分布、リゼッドコサイン分布）および関数（例：線形関数、恒等関数）をカバーする。
• ユニタリ符号化と干渉を用いて、期待値およびリスク測度の効率的な量子計算を実現する。
• 実際のIBM Quantumハードウェア上で、誤り耐性を持つ実装を用いて実現可能性を示す。

提案手法

• 離散関数 $ f: \{0, \dots, 2^n - 1\} \to \{0, \dots, 2^m - 1\} $ をレジスタ結合とアモイチュード符号化を用いて符号化し、アモイチュードが重み $ w_k $ を表す重ね合わせ状態を形成する。
• 一般化された内積を $ \sum_{k=0}^{2^n - 1} w_k f(k) $ として定義し、量子干渉と制御回転を用いて計算することで、期待値やリスク指標の推定を可能にする。
• ハッシュ化された関数値 $ \sum w_k h_{f(k)} $ への拡張により、比較子や集中度指標（例：負の関数値の数）の計算が可能になる。
• 線形関数 $ L_n $、恒等関数、標準化された分布（例：正規分布、リゼッドコサイン分布）の符号化に、逆量子フーリエ変換（QFT）と位相勾配状態を用いた標準的回路を導入する。
• 周期的アモイチュードを符号化するための量子フーリエ変換および位相推定に適した、幾何的数列状態 $ \ket{\gamma_\theta} $ をブロックとして使用し、段階的位相ゲートを用いて準備する。
• QFTに基づく状態準備とアモイチュード増幅を用いて、正規分布の正確および近似符号化を提供し、IBM Qハードウェアにおける誤差解析も実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アモイチュードと状態符号化を併用することで、離散関数の重み付き和を効率的に計算できる一般化された量子内積を構築できるか？
• RQ2 量子干渉ともつれを活用することで、バリューアットリスク（VaR）や部分モーメントなどの金融リスク指標を推定できるか？
• RQ3 正規分布やリゼッドコサイン分布といった標準化された分布を符号化するための、最も効率的な量子回路実装は何か？
• RQ4 線形関数および恒等関数のための標準的量子回路は、金融モデルにおける期待値計算のユニバーサルなブロックとして使用可能か？
• RQ5 このフレームワークは、現実的なノイズと読み取り誤差を伴う近位量子ハードウェアで、どの程度実装可能か？

主な発見

• IBMの ibmq_jakarta で、正規分布下での線形関数の期待値が推定され、$ \ket{0} $ のアモイチュードが 0.57378 に達し、シミュレーション値の 0.60131 に非常に近い結果を得た。読み取り誤差は 2.79% であった。
• 3量子ビット実験において、読み取り割り当て誤差が 4.07% に抑えられ、測定確率分布はシミュレーション結果とよく一致した。
• 一般化された内積フレームワークにより、反復的またはヒューリスティックな手法を避けて、標準出力選択によるバリューアットリスク（VaR）の直接計算が可能になった。
• 正確および近似符号化の両方を実現する、正規分布およびリゼッドコサイン分布のための効率的回路が開発され、フレームワーク内で検証された。
• 線形関数の符号化に $ L_n $ と逆QFTを用いた標準的手法により、線形関数に限らず任意の離散関数の期待値を正確に推定可能となった。
• 関数値をハッシュに基づく重み付き和にマッピングすることで、ルベーグ積分および部分モーメントの効率的計算が可能となった。