[論文レビュー] A generic $C^1$ map has no absolutely continuous invariant probability measure

Artur Avila, Jairo Bochi|May 29, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoな多様体上の一般の $C^1$ 写像に対して、絶対連続不変確率測度（acim）が存在しないことを証明する。非不変測度に対する一般化された Rokhlin 型補題と、周期点の逆像近傍における線形近似に基づく摂動論法を用いて、acim の欠如を示す基準を満たすように写像を摂動できることを示し、$C^1$ 位相における acim を持たない写像の集合が残渣的（residual）であることを確立する。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth compact manifold (maybe with boundary, maybe disconnected) of any dimension $d \ge 1$. We consider the set of $C^1$ maps $f:M o M$ which have no absolutely continuous (with respect to Lebesgue) invariant probability measure. We show that this is a residual (dense $G_δ) set in the $C^1$ topology. In the course of the proof, we need a generalization of the usual Rokhlin tower lemma to non-invariant measures. That result may be of independent interest.

研究の動機と目的

• $C^1$ 多様体上の写像が絶対連続不変確率測度（acim）を持たない集合が $C^1$ 位相において残渣的であることを確立すること。
• 特に拡張写像や微分同相写像としての一般の $C^1$ 写像が acim を持つかどうかという問題を、円周上の先行結果を拡張して解明すること。
• $C^1$ 動的系の文脈において、非特異的かつ非不変測度に対して非不変バージョンの Rokhlin タワー補題を発展・適用すること。
• acim の欠如が $C^1$ 位相において一般的性質であることを示し、トーラス写像における KAM 理論のような確率的存在性とは対照的に述べること。
• 局所的線形近似と Vitali 蓄積を用いて、写像の反復像の測度を制御するための、$C^1$ 写像を摂動して acim を避ける一般枠組みを提供すること。

提案手法

• acim の欠如のための基準を導入：任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$m(K) > 1 - \varepsilon$ かつある $N$ に対して $m(f^N(K)) < \varepsilon$ を満たすコンパクト集合 $K$ が存在する。
• 非不変測度に対する Rokhlin タワー補題を一般化し、測度の成長を制御する $N$-良いおよび $N$-飽和可能な可測集合を構成する。
• Vitali 蓄積論法を用いて、ターゲット領域に互いに交わらないボックス $U_0(y)$ を選択し、$m(Q_0 \setminus \bigcup U_0(y)) \leq \varepsilon m(Q_0)$ を満たすようにする。
• 線形写像 $H_{i,\bar{y}}$ を用いて局所的摂動 $h_{i,\bar{y}}$ を構成し、$V_i(\bar{y})$ の $k$ 重反復像を測度 $< \varepsilon \cdot m(U_i(\bar{y}))$ の小さなボックス $W_i(\bar{y})$ に縮小させる。
• 写像 $f$ の全域的 $C^1$ 摂動 $g$ を、$f$ と $U_i(\bar{y})$ 上で $h_{i,\bar{y}}$ を合成することで定義し、これらの集合の外では $g = f$ とする。
• 摂動写像 $g$ が $m(M \setminus K) < 4\varepsilon$ および $m(g^k K) < \varepsilon$ を満たすことを検証し、$g$ が残渣的集合 $\mathcal{V}_{4\varepsilon}$ に属することを示し、acim の欠如の一般性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体上の $C^1$ 写像が acim を持たない集合は、$C^1$ 位相において残渣的か？
• RQ2 不変性がない状況下で、反復写像における測度の成長を制御するための非不変バージョンの Rokhlin 補題を構築できるか？
• RQ3 $C^1$ 拡張写像および $C^1$ 微分同相写像において、acim の欠如は一般に成立するか？
• RQ4 周期点の逆像近傍における局所的摂動をどのように用いることで、反復像の測度を全体的に制御できるか？
• RQ5 $C^1$ における acim の欠如は、トーラス写像の KAM 理論のような確率的設定でも存在するが、位相的意味での一般性であるか？

主な発見

• $C^1(M,M)$ における acim を持たない写像の集合 $\mathcal{R}$ は、$G_\delta$ 稠密部分集合であるため、残渣的である。
• すべての $C^1$-一般の拡張写像は acim を持たない。これは、円周上での先行結果を高次元に拡張するものである。
• すべての $C^1$-一般の微分同相写像は acim を持たない。これは、$C^1$ 圏において acim が一般的特徴ではないことを示している。
• 証明は、$m(M \setminus K) < 4\varepsilon$ および $m(g^k K) < \varepsilon$ を満たす摂動写像 $g$ を構成し、acim の欠如を示す基準を満たす。
• 一般化された Rokhlin 補題（定理 2）は、互いに交わらない反復逆像、制御された測度和、非不変構造を持つ可測集合 $U$ の存在を保証する。
• 摂動技法は、局所的線形近似と Vitali 蓄積を用いて $C^1$-近さと測度制御を確保し、すべての $i$, $\bar{y}$ に対して $m(W_i(\bar{y}))/m(U_i(\bar{y}))) < \varepsilon$ が成り立つ。