[論文レビュー] A geometric approach to solve time dependent and dissipative Hamiltonian systems

Manuel de León, Cristina Sardón|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する系と散逸的系の両方に対して、それぞれ余シンプレクティック幾何と接触幾何を用いて、幾何学的ハミルトニアン–ヤコビ理論を構築する。両ケースについて明示的なハミルトニアン–ヤコビ方程式を導出し、ウィンターナッツ–スモロディンスキー振動子と減衰する調和振動子への応用を示す。解はリー群理論およびリーマン部分多様体の条件を用いて得られる。

ABSTRACT

In this paper, we apply the geometric Hamilton--Jacobi theory to obtain solutions of Hamiltonian systems in Classical Mechanics, that are either compatible with a cosymplectic or a contact structure. As it is well known, the first structure plays a central role in the theory of time-dependent Hamiltonians, whilst the second is here used to treat classical Hamiltonians including dissipation terms. On the other hand, the interest of a geometric Hamilton--Jacobi equation is the primordial observation that a Hamiltonian vector field $X_{H}$ can be projected into the configuration manifold by means of a 1-form $dW$, then the integral curves of the projected vector field $X_{H}^{dW}$can be transformed into integral curves of $X_{H}$ provided that $W$ is a solution of the Hamilton--Jacobi equation. In this way, we use the geometric Hamilton--Jacobi theory to derive solutions of physical systems with a Hamiltonian formulation. A new expression for a geometric Hamilton Jacobi equation is obtained for time dependent Hamiltonians described with the aid of a cosymplectic structure. Then, another expression for the Hamilton Jacobi equation is retrieved for Hamiltonians with frictional terms described through contact geometry. Both approaches shall be applied to physical examples.

研究の動機と目的

• 余シンプレクティック幾何を用いて、時間に依存するハミルトニアン系への幾何学的ハミルトニアン–ヤコビ理論の拡張を図ること。
• 接触幾何を用いて、摩擦項を含む散逸的系の幾何学的ハミルトニアン–ヤコビアプローチを構築すること。
• ウィンターナッツ–スモロディンスキー振動子や減衰する調和振動子などの物理的系に対する明示的解の提供。
• ハミルトニアン–ヤコビ方程式の解を通じて、射影されたベクトル場の積分曲線と元のハミルトニアン流との等価性を確立すること。
• リーマン部分多様体の条件と閉1次形式が、ハミルトニアン–ヤコビ方程式の解の構成に果たす役割を明らかにすること。

提案手法

• 体積形式となる η ∧ Ωⁿ を満たす1次形式 η と2次形式 Ω を用いて、余シンプレクティック多様体上での力学を定式化する。
• 余シンプレクティック多様体上にハミルトニアンベクトル場 X_H を定義し、1次形式 dW を用いて射影して、射影されたベクトル場 X_H^dW を得る。
• W がハミルトニアン–ヤコビ方程式を満たすとき、X_H^dW の積分曲線が X_H の積分曲線に引き上げられるという条件を課すことにより、時間に依存する系の幾何学的ハミルトニアン–ヤコビ方程式を導出する。
• 理論をウィンターナッツ–スモロディンスキー振動子に適用し、解 γ がミルン–ピニィ型方程式を満たすことを示す。
• 散逸的系の場合は、接触形式 η と摩擦項 αS を含むハミルトニアン H を用いる接触幾何を用いる。
• dγ_S = 0 を満たすリーマン断面 γ を構成し、局所座標でハミルトニアン–ヤコビ方程式を導出し、γ に対する一階偏微分方程式に帰着させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして余シンプレクティック構造を用いて、時間に依存するハミルトニアン系への幾何学的ハミルトニアン–ヤコビ理論を一般化できるか？
• RQ2 接触幾何によって記述される散逸的系のハミルトニアン–ヤコビ方程式の形は何か？
• RQ3 ハミルトニアン–ヤコビ方程式の解を用いて、元のハミルトニアンベクトル場の積分曲線を再構成できるか？
• RQ4 接触系において、リーマン部分多様体の条件 dγ_S = 0 は解 γ をどのように制約するか？
• RQ5 減衰する振動子およびウィンターナッツ–スモロディンスキー系に対するハミルトニアン–ヤコビ方程式の明示的解は何か？

主な発見

• 本稿では、余シンプレクティック多様体上での時間に依存する系に対して幾何学的ハミルトニアン–ヤコビ方程式を導出し、その解 γ がリー群理論を用いて積分可能なミルン–ピニィ型方程式を満たすことを示した。
• ウィンターナッツ–スモロディンスキー振動子に対して、解 γ が明示的に計算され、定数 c₁ と c₂ に依存しており、判別式 c₁² > 2c₂ または c₂ > c₁²/2 に応じて異なる形を取ることが示された。
• 散逸的系では、条件 dγ_S = 0 の下で、ハミルトニアン–ヤコビ方程式が一階偏微分方程式として (p²/2m − V(q) − αS)∂γ/∂S + (p/m)∂γ/∂q + (αp + V′(q)) = 0 の形に導出された。
• 減衰する振動子の解は、逆三角関数および対数関数を用いて表現され、p = γ であり、定数 c₁ = αm、c₂ = −m(V(q) − V′(q) + mαS) である。
• 理論により、射影されたベクトル場 X_H^γ の積分曲線が X_H の積分曲線に引き上げられるのは、W が幾何学的ハミルトニアン–ヤコビ方程式を満たすとき、かつそのときに限ることが示された。
• 時間依存性および散逸的性質を有する物理的系に対しても、この手法は成功裏に適用可能であり、余シンプレクティック／接触幾何といった幾何的構造が、非正準設定下でのハミルトニアン–ヤコビ方程式の解法に自然な枠組みを提供することを示した。