[論文レビュー] A group with at least subexponential hyperlinear profile

William Slofstra|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、少なくとも指数関数的成長より小さい、具体的には $ C' \cdot \exp\left(C \cdot (\delta/\epsilon)^\alpha \right) $ で下から抑えられる超線形的プロファイルを示す有限生成群を構成する。ここで $ 0 < \alpha < 1/2 $ である。この結果により、非自明な群元を検出するために必要なユニタリ $\epsilon$-表現の次元に対する強い下界が得られ、指数的または多項式的境界の可能性に反する最初の例を提供する。さらに、特定の非局所ゲームが準拠の量子次元を必要とするという意味でもある。

ABSTRACT

The hyperlinear profile of a group measures the growth rate of the dimension of unitary approximations to the group. We construct a finitely-presented group whose hyperlinear profile is at least subexponential, i.e. at least $\exp(1/ε^{k})$ for some $0 &lt; k &lt; 1$. We use this group to give an example of a two-player non-local game requiring subexponential Hilbert space dimension to play near-perfectly.

研究の動機と目的

• 有限生成群の超線形的プロファイルが多項式的成長より速く、具体的には少なくとも指数的成長より小さい成長を示すように構成すること。
• 近似的な表現において非自明な群元を検出するために必要なユニタリ $\epsilon$-表現の次元に対する明確な下界を提供すること。
• 特定の2人非局所ゲームが、近似的に完璧な量子戦略を達成するために指数的成長より小さいヒルベルト空間次元を必要とすることを示すこと。
• 超線形的プロファイルが多項式的成長より速く成長することを示すことで、コンヌス埋め込み問題の理解を深めること。

提案手法

• 生成子と関係式を特定の方法で選択することで、高次元のユニタリ近似を強制する群 $\mathcal{G}$ を構成する。
• 正規化されたフロベニウスノルム $\|\cdot\|_f$ を用いて $\epsilon$-表現を定義し、有限次元における群の関係がどれほど正確に満たされているかを測定する。
• 群元の正規形に対する乗法表の議論を変更して、超線形的プロファイル関数 $\operatorname{hlp}(w;\delta,\epsilon)$ の下界を導出する。
• HNN拡大を用いて、中心的インボリューション $J'$ を持つより大きな群 $\mathcal{G}'$ を構成し、$J'$ の超線形的プロファイルに対しても同じ下界を引き継がせる。
• 既知の結果を用いて、非局所ゲームの量子値と近似的な表現における特別な群元の非自明性との関係を確立する。
• 主な技術的ステップとして、$\operatorname{hlp}(J^\prime;2,\epsilon) \geq C' \cdot \exp(C / \epsilon^\alpha)$ を示し、以前の研究からの埋め込み定理を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群を構成し、その超線形的プロファイルが任意の多項式的成長より速く、具体的には少なくとも指数的成長より小さい成長を示すことは可能か？
• RQ2 このような群の存在が、特定の非局所ゲームが近似的に完璧な量子戦略を達成するために指数的成長より小さい量子次元を必要とするという事実を示唆するか？
• RQ3 超線形的プロファイルが $\exp(C \cdot (\delta/\epsilon)^\alpha)$ のように成長する下界を確立することは可能か？ここで $\alpha < 1/2$ である。
• RQ4 このような群を用いて、その超線形性が未解決であっても、量子次元要件が指数的成長より小さい非局所ゲームを構成できるか？
• RQ5 群の超線形的プロファイルは、非局所ゲームや量子相関の複雑さを測る意味のある指標を提供するか？

主な発見

• 本稿は、ある単語 $w$ に対して、すべての $\epsilon, \delta > 0$ および任意の $\alpha < 1/2$ に対して、超線形的プロファイルが $\operatorname{hlp}(w;\delta,\epsilon) \geq C' \cdot \exp\left(C \cdot (\delta/\epsilon)^\alpha\right)$ を満たす有限生成群 $\mathcal{G}$ を構成する。
• この下界により、群 $\mathcal{G}$ の超線形的プロファイルが多項式的成長より速い（超多項式的）であることが示され、これはプロファイルに指数的成長より小さい成長を示す最初の既知の例である。
• HNN拡大を適用することで、拡張群 $\mathcal{G}^\prime$ の中心的インボリューション $J^\prime$ の超線形的プロファイルが、$\operatorname{hlp}(J^\prime;2,\epsilon) \geq C' \cdot \exp(C / \epsilon^\alpha)$ で下から抑えられることを示す。ここで $0 < \alpha < 1/2$ である。
• この結果により、近似的に完璧な量子戦略を達成するために指数的成長より小さいヒルベルト空間次元を必要とする2人非局所ゲームが存在することが示される。これは、量子値が1であるのは、特別な群元が近似的な表現において非自明である場合に限るからである。
• この構成は、群 $\mathcal{G}$ の超線形性が未解決であることを示すものではなく、また非MFまたは非ソフィック性の証明を含まないが、表現の複雑さに対する強い下界を提供する。
• 本研究は、群表現理論と非局所ゲームとの間の新しい定量的関係を確立し、有限生成群において超線形的プロファイルの指数的成長より小さい成長が達成可能であることを示した。