[論文レビュー] A guide to Brownian motion and related stochastic processes

Jim Pitman, Marc Yor|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

このガイドは、偏微分方程式、マルコフ過程、マルティンググール、レヴィ過程などと関連するブラウン運動および関連する確率過程について、包括的で学際的な概説を提供する。解析学、確率論、物理学、ファイナンス分野への応用を統合し、標準的な教科書を超えた大学院レベルの研究者に統一的な視点を提供する。

ABSTRACT

This is a guide to the mathematical theory of Brownian motion and related stochastic processes, with indications of how this theory is related to other branches of mathematics, most notably the classical theory of partial differential equations associated with the Laplace and heat operators, and various generalizations thereof. As a typical reader, we have in mind a student, familiar with the basic concepts of probability based on measure theory, at the level of the graduate texts of Billingsley and Durrett , and who wants a broader perspective on the theory of Brownian motion and related stochastic processes than can be found in these texts.

研究の動機と目的

• 標準的な大学院レベルの教科書を超えてブラウン運動の数学的理論を統合的かつ拡張的に提示し、より広範で学際的な視点を提供すること。
• ブラウン運動と偏微分方程式（ラプラス作用素および熱作用素）、ポテンシャル論、調和関数といった数学の主要分野との間の関係を明確にすること。
• マルコフ過程、マルティンググール、レヴィ過程、拡散過程といった多様な確率過程の枠組みを、共通の理論的枠組みの下に統一すること。
• エクcursion理論、局所時間、確率積分計算、無限次元拡散過程といった高度なトピックについて、研究者が使いやすい参考文献を提供すること。
• 数学的ファイナンス、統計的推論、統計物理学、流体力学における応用を強調し、理論的構造を現実世界のモデル化に根ざしたものとする。

提案手法

• ブラウン運動をガウス過程として体系的に提示し、その二次変動、ペイリー＝ウィーナー積分、および細かなパスの性質に焦点を当てる。
• レヴィの特徴付けおよび伊藤の公式を用いて、ブラウン運動のマルティンググールおよび半マルティンググール構造を確立する。
• 確率微分方程式およびマルティンググール問題を用いて、1次元の拡散過程およびマルコフ過程の構築と分析を行う。
• エクcursion理論およびパスの分解技術の開発を進め、レイ＝ナイトの定理およびエクcursionのレヴィ＝伊藤表現を含む。
• 平面的ブラウン運動における共形不変性および巻きつきの性質を探索し、複素解析およびSLE理論と結びつける。
• 多次元および多様体値ブラウン運動への拡張を図り、スケュー積表現および径数過程を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動は、確率論、解析学、数学的物理学の間でどのように統合的枠組みとして機能するか？
• RQ2 ブラウン運動の局所時間、滞在時間、およびレイ＝ナイトの定理との深い関係は何か？
• RQ3 確率積分の理論および伊藤微積分学は、非半マルティンググール過程およびガウス半マルティンググールにどのように一般化されるか？
• RQ4 時間、測度、フィルトレーションの変換（例：ギルサンフの定理、ナイトの定理）は、ブラウン運動の構造をどのように変えるか？
• RQ5 ブラウン運動は、ディリクレ問題やノイマン問題といった古典的偏微分方程式の解法にどのような意味を持つのか、非線形および放物型方程式に対しても同様に言えるか？

主な発見

• ブラウン運動は、連続的で平均ゼロのガウス過程であり、独立した増分と連続的なパスを持つことから、確率積分の基礎をなす。
• 強いマルコフ性および生成作用素理論により、ブラウン運動はラプラシアンおよび熱方程式と関連する拡散過程として特徴づけられる。
• レヴィの特徴付けにより、ブラウン運動は、二次変動が t に等しい唯一の連続的局所マルティンググールであることが示され、時間変換を用いた一般の拡散過程の構成が可能になる。
• レイ＝ナイトの定理は、ブラウン運動の局所時間と平方付き付き過程との間の深い双対性を確立し、エクcursion理論への橋渡しを提供する。
• 平面的ブラウン運動は共形不変性を示し、シュラム＝ロエヴェルのSLE理論および2次元統計力学モデルと結びつく。
• 無限次元拡散過程、例えばダウソン＝ワタナベのスーパープロセスは、分岐粒子系の測度値極限として生じ、非線形熱方程式およびガウス自由場と関連する。