[論文レビュー] A Hölder continuous vector field tangent to many foliations

Christian Bonatti, John Franks|ArXiv.org|Mar 24, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、R² 上に Hölder連続なベクトル場を構成し、それが非可算個の相異なる C¹ 細分類に接することを示す。各細分類の葉は Cʳ-正則である。カントール集合に基づく微分の構成と、細分類の反復的摂動を用いて、1つのベクトル場に接する細分類の非一意性を示し、力学系理論における Hölder連続なベクトル場の非一意的統合可能性に関する疑問を解決する。

ABSTRACT

We construct an example of a Hölder continuous vector field on the plane which is tangent to all foliations in a continuous family of pairwise distinct $C^1$ foliations. Given any $1 \le r

研究の動機と目的

• R² 上の連続的非特異なベクトル場が1つより多くの細分類に接することができるかどうかを問う、シューブとウィリアムソンの疑問を解決すること。
• Cʳ-正則な葉を持つ、互いに相異なる C¹ 細分類の連続族に接する Hölder連続なベクトル場を構成すること。
• そのようなベクトル場が、依然として複数の細分類に接しているにもかかわらず、稠密な開集合上で一意的統合可能であることを示すこと。
• 特に中心バンドルに関して、部分的双曲的系の文脈におけるベクトル場の統合可能性および横断的性質を調査すること。

提案手法

• カントール集合に基づく構成を用いて、関数 g: R → R のグラフとして1つの Cʳ-正則な葉を構成する。その導関数 h: R → R を指定する。
• h(x) = 0 を中間三分のカントール集合 C 上で定義し、長さ 3⁻ⁿ の補集合区間 (a,b) 上で h(x) = 3⁻²ʳⁿϕ(3ⁿ(x−a)) と定義する。ここで ϕ(t) = tʳ⁺¹(1−t)ʳ⁺¹ である。
• 積分恒等式 ∫ₐᵇ h(t)dt = 3⁻³ʳⁿA を用い、導関数の総変動を制御する。ここで A = ∫₀¹ ϕ(t)dt である。
• 連続的かつ compact な台を持つ関数 ψ(x) を用いて滑らかな場を摂動し、横断性と非特異性を保証するベクトル場 X を定義する。
• 反復的摂動補題（補題 3.4–3.6）を適用し、各々が変更されたベクトル場 Zₙ に接する細分類 Fₙ の列を帰納的に構成する。
• εₙ < 1/10 min{εₙ₋₁, μₙ/2} を満たすように選ぶことで稠密な横断性を確保し、曲線 γᵢ の互いに交差しない性質をチューブ近傍を用いて維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R² 上の連続的非特異なベクトル場が1つより多くの細分類に接することができるか？
• RQ2 非可算個の相異なる C¹ 細分類に接する Hölder連続なベクトル場を構成することは可能か？ ただし各葉は Cʳ-正則であるものとする。
• RQ3 そのようなベクトル場が、依然として複数の細分類に接しているにもかかわらず、稠密な開集合上で一意的統合可能であることは可能か？
• RQ4 1次元の中心方向を有する部分的双曲的系において、中心バンドルの統合可能性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 シューブ＝ウィリアムソンの例のように、ベクトル場が Hölder 連続である一方で、細分類が絶対連続でないことは可能か？

主な発見

• 任意の r ≥ 1 に対して、R² 上に、{Fₜ}ₜ∈[0,1] という互いに相異なる C¹ 細分類の連続族に接する Hölder 連続なベクトル場 X が存在する。各葉は Cʳ 関数のグラフである。
• ベクトル場 X は、複数の細分類に接しているにもかかわらず、R² の稠密な開集合上で一意的統合可能である。
• 連続的な単位ベクトル場 X と、R² 上の2つの細分類 F と G が存在し、X が両方に接しており、E ⊂ R² の稠密な集合で、各点 x における葉 Fₓ と Gₓ は位相的に横断的である。
• 構成により、同一のベクトル場に接する非可算個の細分類の族が得られる（注記 3.3 を参照）。
• ベクトル場は非特異的かつ連続のままであり、εₙ の減少により摂動を制御することで、稠密な点で葉同士が横断的に交わることを保証する。
• この方法により、ベクトル場の最大積分曲線が、すべての細分類の葉を切り、空間全体にわたる接続性が確認される。