[論文レビュー] A holographic c-theorem for higher derivative gravity

James T. Liu, Zhichen Zhao|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、高次導関数重力におけるa中心的係数のためのホログラフィックc定理を、リーマンテンソルに基づく一般化されたa関数を導入することによって確立する。このa関数は、物質と重力の高次曲率項を含む結合されたnullエネルギー条件の下で単調に減少する。主な結果は、標準的なnullエネルギー条件を曲率依存項を含む形に拡張した十分条件であり、これにより、アインシュタイン重力の範囲を越えてa定理が成立することが保証される。

ABSTRACT

We prove a holographic c-theorem for the a central charge in AdS/CFT where the bulk is described by a gravitational action built out of an arbitrary function f(R^{ab}_{cd}) of the Riemann tensor coupled to bulk matter. This theorem holds provided a generalized null energy condition involving both matter and higher curvature gravitational interactions is satisfied. As an example, we consider the case of a curvature-squared action, and find that generically the generalized null energy condition involves not just the bulk matter, but also the sign of R" where a prime denotes a radial derivative and where R is the bulk scalar curvature.

研究の動機と目的

• 高次導関数重力作用（リーマンテンソルから構成される一般の作用）へのホログラフィックc定理の拡張。
• 高次導関数重力における量子揺らぎの下でのa関数の単調性を保証する十分条件の特定。
• 物質と重力の高次曲率項の役割を統一的に扱い、a中心的係数の単調性を決定づける要因を明らかにすること。
• 特にR²重力やガウス＝ボナチ型理論において、曲率依存項を含むようにnullエネルギー条件を一般化すること。
• ユニタリティ、有効場理論、およびホログラフィックなRGフローにおけるa関数の構造との関係を明確にすること。

提案手法

• 作用のリーマンテンソルに関する関数的微分F^{tr}{}_{tr}と、ワープ因子A'(r)の径方向微分を用いて一般化されたa関数を定義する。
• ds² = e^{2A(r)}(-dt² + d𝑰_{d-1}²) + dr² というワーピングされたAdS計量のアンザッツを用い、a関数とその径方向微分を計算する。
• アインシュタイン方程式と作用の変分を組み合わせることで、a関数の径方向進化方程式を導出し、T^t_t - T^r_rと曲率依存項Δ′を含む式を得る。
• 物質のストレステンソルと重力の高次導関数補正を統合した一般化されたnullエネルギー条件を導入し、−κ²(T^t_t - T^r_r) + 2Δ′ ≥ 0 を要求する。
• 曲率二乗重力にこの手法を適用し、条件がスカラー曲率の径方向微分R′′の符号に依存することを示す。
• a関数の単調性条件をワルドエントロピー関数のものと比較し、異なる曲率依存性のため、標準的なnullエネルギー条件ではエントロピーの単調性が保証されないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次導関数重力（特にアインシュタイン＝ヒルベルト作用の範囲外）において、a中心的係数のためのホログラフィックc定理を確立できるか？
• RQ2 重力の高次導関数項を含む一般の重力理論において、a関数の単調性を保証する一般化されたエネルギー条件は何か？
• RQ3 R²やガウス＝ボナチ型の高次導関数重力項は、a定理に必要なnullエネルギー条件にどのように寄与するか？
• RQ4 高次導関数重力において、a関数の単調性とワルドエントロピー関数の単調性は等価か？
• RQ5 一般化されたnullエネルギー条件は、双対境界CFTにおけるユニタリティ制約と結びつけることができるか？

主な発見

• a(r) = (2dπ^{d/2}/(κ²(d/2)!²)) × (F^{tr}{}_{tr}/(A′)^{d-1}) で定義されるa関数は、AdS固定点におけるホログラフィックa異常を正しく再現する。
• 一般化されたnullエネルギー条件 −κ²(T^t_t - T^r_r) + 2Δ′ ≥ 0 が成立する限り、a関数の単調性が保証される。ここでΔはF^{tr}{}_{tr}とワープ因子の径方向微分を含む。
• R²重力では、一般化されたnullエネルギー条件がR′′（スカラー曲率の径方向微分）の符号に明示的に依存し、曲率の動的性質が不可欠であることが示される。
• ガウス＝ボナチ重力ではΔ′がゼロでないため、高次導関数重力補正をnullエネルギー条件に無視することはできない。
• 一般化されたnullエネルギー条件が満たされていれば、運動方程式が2階でない重力セクターに対してもa定理は成立する。
• 一般化されたnullエネルギー条件はマイヤーズら（2010）のユニタリティ条件よりも弱いため、有効場理論の文脈においてより広範な適用可能性を示唆する。