[논문 리뷰] A homotopy-theoretic model of function extensionality in the effective topos

Daniil Frumin, Benno van den Berg|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 효과적 토포스의 전부 서브카테고리 위에 연결성을 가진 간격 대상과 지배성을 사용하여 쿠일렌 모델 구조를 구성한다. 이는 항등형식, Σ-형식 및 Π-형식, 그리고 함수 확장성을 포함하는 호모토피 유형 이론의 호모토피 이론적 모델을 가능하게 한다. 주요 기여는 이 모델에서 이산 대상이 피브라ント이며, 균일하게 비어 있지 않은 대상이 수축 가능하며, 피브라ント 조립의 호모토피 카테고리가 미모스 세트의 카테고리와 동치라는 것이다.

ABSTRACT

We present a way of constructing a Quillen model structure on a full subcategory of an elementary topos, starting with an interval object with connections and a certain dominance. The advantage of this method is that it does not require the underlying topos to be cocomplete. The resulting model category structure gives rise to a model of homotopy type theory with identity types, $Σ$- and $Π$-types, and functional extensionality. We apply the method to the effective topos with the interval object $ abla 2$. In the resulting model structure we identify uniform inhabited objects as contractible objects, and show that discrete objects are fibrant. Moreover, we show that the unit of the discrete reflection is a homotopy equivalence and the homotopy category of fibrant assemblies is equivalent to the category of modest sets. We compare our work with the path object category construction on the effective topos by Jaap van Oosten.

연구 동기 및 목표

• 코모플레트성 조건 없이 효과적 토포스에서 유형 이론의 호모토피 이론적 모델을 개발하기 위해.
• 기초 토포스의 전부 서브카테고리 위에 간격 대상과 지배성을 사용하여 쿠일렌 모델 구조를 수립하기 위해.
• 항등형식, Σ-형식 및 Π-형식, 그리고 함수 확장성을 포함하는 마르틴뢰프 유형 이론을 이 모델에서 해석하기 위해.
• 이 모델 구조 하에서 수축 가능한 대상과 피브라ント 조립을 특성화하기 위해.
• 이 구조를 자아프 반 오오스텐의 효과적 토포스 위의 경로 대상 카테고리와 비교하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 코모플레트성에 의존하지 않고, 연결성을 가진 간격 대상과 지배성을 사용하여 기초 토포스의 전부 서브카테고리 위에 쿠일렌 모델 구조를 구성한다.
• 피브라ント 대상 위에서 세 가지 맵 클래스—공형사상, 피브라션, 약한 동치—를 정의하여 모델 카테고리 형성.
• 효과적 토포스 내의 간격 대상 ∇2는 항등형식과 경로 대상을 해석하는 데 기초로 사용된다.
• 이 구조는 피브라란성과 균일성을 활용하여 경로 올림과 호모토피 동치를 정의하며, 특히 조립에 대해 중점을 둔다.
• 이산 반사와 피브라트 리플레스먼트를 사용하여 피브라ント 조립의 호모토피 카테고리와 미모스 세트의 카테고리 간의 관계를 설정한다.
• 이 모델은 반 오오스텐의 경로 대상 카테고리와 비교되며, 현재의 구조가 더 강력한 호모토피 이론적 구조를 제공한다는 것이 밝혀졌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코모플레트성 조건 없이 기초 토포스의 서브카테고리 위에 쿠일렌 모델 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 결과로 얻어진 모델 구조가 효과적 토포스에서 Π-형식에 대한 함수 확장성을 지원하는가?
• RQ3 효과적 토포스 내 균일하게 비어 있지 않은 대상이 이 모델에서 수축 가능한 대상과 동치인가?
• RQ4 피브라트 조립의 호모토피 카테고리가 효과적 토포스 내에서 미모스 세트의 카테고리와 동치인가?
• RQ5 이 모델은 전체 효과적 토포스로 확장될 수 있으며, 만약 가능하면 그 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 이 모델에서 균일하게 비어 있지 않은 대상은 수축 가능한 대상으로 식별되며, 이는 일정한 사상으로의 호모토피를 허용한다는 의미이다.
• 효과적 토포스 내 이산 대상은 구성된 모델 구조에서 피브라ント이다.
• 이산 반사의 단위는 호모토피 동치이므로, 이는 이산 대상이 호모토피적으로 표현 가능하다는 것을 나타낸다.
• 피브라트 조립의 호모토피 카테고리는 효과적 토포스 내에서 미모스 세트의 카테고리와 동치이다.
• 경로 대상 함자 P(X)는 피브라트 조립 X에 대해 내부 경로 공간 X^I와 호모토피 동치이다.
• 이 모델은 Π-형식에 대한 함수 확장성을 지원하며, 함수의 점별 동치가 형식론적 의미에서의 동치임을 보여준다.