[論文レビュー] $A_\infty$ Algebras and the Cohomology of Moduli Spaces

Michael Penkava, Albert Schwarz|ArXiv.org|Aug 10, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$A_\infty$代数に対する循環コホモロジーを導入し、不変内積を保存する変形がこのコホモロジーによって分類されることを示している。この枠組みを用いて、著者らは代数的曲線の空間の上に明示的なサイクルを構成し、$A_\infty$代数の代数的変形理論と、メトリックリボングラフ複体のホモロジーを介したモジュライ空間の位相的性質を結びつけた。

ABSTRACT

We introduce the notion of cyclic cohomology of an A-infinity algebra and show that the deformations of an A-infinity algebra which preserve an invariant inner product are classified by this cohomology. We use this result to construct some cycles on the moduli space of algebraic curves. The paper also contains a review of some well known notions and results about Hochschild and cyclic cohomology of associative algebras, A-infinity algebras, and deformation theory of algebras, and includes a discussion of the homology of the graph complex of metric ribbon graphs which is associated to the moduli space of Riemann surfaces with marked points.

研究の動機と目的

• 不変内積を備えた$A_\infty$代数に対する循環コホモロジーを定義し、その性質を調査すること。
• 与えられた不変内積を保存する$A_\infty$代数の変形を、循環コホモロジーを用いて分類すること。
• このコホモロジー的枠組みを用いて、代数的曲線のモジュライ空間に明示的なサイクルを構成すること。
• メトリックリボングラフ複体のホモロジーと、標識点をもつリーマン面のモジュライ空間のコホモロジーとの関係を結ぶこと。

提案手法

• 非退化な不変内積を備えた$A_\infty$代数に対して、循環コホモロジー複体を定義する。
• 第一の循環コホモロジー群が、内積を保存する形式的変形を分類することを確立する。
• $A_\infty$代数とメトリックリボングラフ複体のホモロジーとの関係を活用する。
• 循環コホモロジーから生じるコホモロジー類を用いて、安定曲線のモジュライ空間に明示的なサイクルを構成する。
• 主な構成を支援するため、ホッホシュィルドおよび循環コホモロジー、変形理論、$A_\infty$代数の基礎的概念を概説する。
• グラフ複体を、標識点をもつリーマン面のモジュライ空間のコホモロジーのモデルとして用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変内積を備えた$A_\infty$代数に対して、循環コホモロジーをどのように一般化できるか。
• RQ2 循環コホモロジーは、不変内積を保存する$A_\infty$代数の変形を分類する上で、果たす役割は何か。
• RQ3 $A_\infty$代数の構造は、代数的曲線のモジュライ空間にどのようにコホモロジー類を生じさせるか。
• RQ4 メトリックリボングラフ複体のホモロジーと、リーマン面のモジュライ空間のコホモロジーとの関係は何か。
• RQ5 代数的変形理論を用いて、モジュライ空間に明示的なサイクルを構成できるか。

主な発見

• 不変内積を備えた$A_\infty$代数の第一の循環コホモロジー群は、その内積を保存する形式的変形を分類する。
• 本構成により、$A_\infty$代数の構造から代数的曲線のモジュライ空間へのコホモロジー類を体系的に生成する方法が得られる。
• メトリックリボングラフ複体のホモロジーは、標識点をもつリーマン面のモジュライ空間のコホモロジーと同型である。
• 明示的なサイクルは、$A_\infty$代数の循環コホモロジーを用いて構成される。
• 本稿は、$A_\infty$代数の変形理論と曲線のモジュライ空間の位相との間の橋渡しを確立した。
• 最終版では、初期のタイプセット上の誤植が修正され、付録が削除されており、核心的な結果が自己完結的であることが確認された。