[論文レビュー] A KAM type theorem for systems with round-off errors

Michael Blank, Tyll Krüger+1 more|ArXiv.org|Jun 4, 1997

Fault Detection and Control Systems参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、丸め誤差を受けるねじれ写像に対して、滑らかな上界および下界を構築することにより、KAM型定理を確立する。モーザーの滑らかな摂動に関する定理を用いて、丸め誤差の非滑らかさにもかかわらず、離散化された系のすべての軌道が最終的に周期的であることを証明する。

ABSTRACT

Perturbations due to round-off errors in computer modeling are discontinuous and therefore one cannot use results like KAM theory about smooth perturbations of twist maps. We elaborate a special approximation scheme to construct two smooth periodic on the angle perturbations of the twist map, bounding the discretized map from above and from below. Using the well known Moser's theorem we prove the existence of invariant curves for these smooth approximations. As a result we are able to prove that any trajectory of the discretized twist map is eventually periodic. We discuss also some questions, concerning the application of the intersection property in Moser's theorem and the generalization of our results for the twist map in Lobachevski plane.

研究の動機と目的

• コンピュータシミュレーションにおける不連続な丸め誤差を伴う系にKAM理論を適用する課題に取り組む。
• 古典的KAM理論が滑らかな摂動を要するため、丸め誤差には適用できないという制限を克服する。
• 滑らかで周期的な関数を用いて、離散化されたねじれ写像を上界および下界で挟む、新しい近似スキームを開発する。
• 滑らかな近似における不変曲線の存在を確立し、元の離散系の力学的性質を推論する。
• 離散化写像の軌道が最終的に周期的であることを示す。これは、カオス的系における数値的安定性において重要な結果である。

提案手法

• 丸め誤差を伴う離散化写像を上界および下界として機能する滑らかで周期的なねじれ写像の摂動を構築する。
• 丸め誤差の構造を用いて区分定数摂動を定義し、制御された誤差を伴う滑らかな関数で近似する。
• 滑らかな上界および下界近似にモーザーのKAM定理を適用し、不変曲線の存在を証明する。
• 近似が回転に関して不変であることを活用し、準周期的軌道の存在を保証する。
• 境界のサンドイッチ性を用いて、元の離散化写像が安定で周期的な振る舞いを示す必要があることを推論する。
• モーザー定理における交差性の性質の適用可能性と、不変曲線の構築に与える影響を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値シミュレーションにおける不連続な丸め誤差を伴う系に、KAM型の結果を拡張することは可能か？
• RQ2 滑らかでない摂動を伴う離散化ねじれ写像を、滑らかな近似で上界および下界で挟む方法はどのように構築できるか？
• RQ3 滑らかなKAM理論を用いて、離散化系に推論可能な力学的性質（周期性など）は何か？
• RQ4 不連続写像を近似する際、モーザー定理における交差性の性質をどの程度適用できるか？
• RQ5 結果は、ロバチェフスキー平面などの非ユークリッド空間上のねじれ写像へ一般化可能か？

主な発見

• 著者らは、丸め誤差を伴う離散化ねじれ写像に対して、滑らかで周期的な上界および下界を成功裏に構築した。
• これらの滑らかな近似にモーザーのKAM定理を適用することで、境界付き系における不変曲線の存在を証明した。
• その結果、離散化ねじれ写像のすべての軌道が最終的に周期的であることが示された。
• この方法により、不連続な摂動が存在する場合でも、滑らかな近似を介して安定で準周期的のような振る舞いを推論できることを示した。
• このアプローチは、ロバチェフスキー平面上のねじれ写像を含むより一般的な設定へも拡張可能であるが、さらなる解析が必要である。
• 構築された近似は、元の写像の本質的力学を保ちつつ、古典的KAM理論の適用を可能にした。