[論文レビュー] A Koopman-based framework for forecasting the spatiotemporal evolution of chaotic dynamics with nonlinearities modeled as exogenous forcings

Mohammad Amin Khodkar, Pedram Hassanzadeh+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 49被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、非線形なカオス的空間時間的系における非線形性を外部駆動項として扱うことで、高次元のカオス的力学を高精度で短期予測可能な、Koopmanに基づくデータ駆動型フレームワークを提案する。遅延埋め込みによるベクトル値観測量と線形Koopman作用素の近似を用いることで、Kuramoto-Sivashinsky方程式 や 2次元のドア駆動キャビティ流れ といったカオス的系を、数個のリャプノフ時定数スケールにわたり高精度に予測可能である。

ABSTRACT

We introduce a data-driven method and shows its skills for spatiotemporal prediction of high-dimensional chaotic dynamics and turbulence. The method is based on a finite-dimensional approximation of the Koopman operator where the observables are vector-valued and delay-embedded, and the nonlinearities are treated as external forcings. The predictive capabilities of the method are demonstrated for well-known prototypes of chaos such as the Kuramoto-Sivashinsky equation and Lorenz-96 system, for which the data-driven predictions are accurate for several Lyapunov timescales. Similar performance is seen for two-dimensional lid-driven cavity flows at high Reynolds numbers.

研究の動機と目的

• 支配方程式の計算が困難または部分的に未知であるような高次元でカオス的な空間時間的系のためのデータ駆動型予測フレームワークを開発すること。
• 非線形相互作用によって抑制される不安定モードを捉えることが難しい従来の線形モデルの限界を克服すること。
• Kuramoto-Sivashinsky方程式 や 高レイノルズ数のドア駆動キャビティ流れ などの系における極端な出来事象や複雑な力学の高精度な短期予測を可能にすること。
• 遅延埋め込みとKoopman作用素理論を活用して、外部駆動項を用いて非線形力学を捉える安定で有限次元の線形モデルを構築すること。

提案手法

• 状態空間を表現するために遅延埋め込みによるベクトル値観測量を用い、線形枠組み内での非線形力学の捉え方を強化する。
• 系内の非線形項を外部駆動項として扱い、Koopman作用素を線形時不変系として近似可能にする。
• 遅延埋め込みデータ上での動的モード分解（DMD）を用いてKoopman作用素の有限次元近似を構築し、計算を効率化する。
• 履歴データを用いて線形力学と駆動項の進化を学習し、最適なパラメータは検証セットを用いて選定する。
• Koopman部分空間の切断にハードスレッショルド基準を採用し、安定性と予測精度を保証する。
• 駆動項ベクトル長さ p は状態ベクトルに対してスケーリングされ（p = αr）、α は最良のパフォーマンスを得るために経験的に最適化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性を外部駆動項として扱う線形Koopmanベースのフレームワークが、カオス的空間時間的系を正確に予測できるか。
• RQ2 ベクトル値観測量の遅延埋め込みが、高次元のカオス的系におけるKoopman作用素近似の予測能力をどのように向上させるか。
• RQ3 本手法が、Kuramoto-Sivashinsky方程式 や 2次元のドア駆動キャビティ流れ といった乱流系において、極端な出来事象や長期統計的特徴をどの程度正確に予測できるか。
• RQ4 安定かつ正確な予測を達成するための最適な遅延埋め込み次元（q）と低次元部分空間サイズ（r）の組み合わせは何か。
• RQ5 複数のリャプノフ時定数スケールにわたり、Koopmanベースの手法がSINDy や LSTM といった既存のデータ駆動型手法と比較してどのように性能を発揮するか。

主な発見

• 本手法は、Kuramoto-Sivashinsky方程式 と Lorenz-96系 に対して、数個のリャプノフ時定数スケールにわたり高精度な予測を達成し、カオス的力学に対する頑健性を示した。
• 高レイノルズ数の2次元ドア駆動キャビティ流れでは、モデルが空間的・時間的進化と分岐現象を、乱流領域でさえも的確に捉えた。
• 最適な遅延埋め込み次元 q は、系の自己相関時間スケール τd に比例することが判明したが、q はしばしば τd/τ よりも顕著に小さい値であった。
• 低次元部分空間サイズ r がハードスレッショルド基準に近い値に選ばれた場合、モデルは安定かつ正確に保たれるが、r が大きすぎると発散する。
• 駆動項ベクトル長さ p が p = αr に設定された場合に最も効果的であり、α は予測精度を最大化するために経験的に決定された。
• 本フレームワークは、非線形的に安定化される不安定モードを捉えることができ、標準的な線形モデルに比べて発散を回避しながらも、予測の正確性を維持している。