[論文レビュー] A Korn-Poincaré-type inequality for special functions of bounded deformation

Manuel Friedrich|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

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ひとこと要約

この論文は、平面的設定においてSBD²関数に対するKorn-Poincaré型不等式を確立する。これは、ジャンプ集合を覆う小さな長方形の集合上で変位場を変更することにより、無限小剛体変形からの距離を制御するものである。主な結果は、この距離が弾性エネルギーや表面エネルギーの観点から評価可能であることを示しており、バリエーショナルな破壊モデルにおけるコンパクトネスの推移を可能にする。

ABSTRACT

We present a Korn-Poincaré-type inequality in a planar setting which is in the spirit of the Poincaré inequality in SBV due to De Giorgi, Carriero, Leaci. We show that for each function in SBD$^2$ one can find a modification which differs from the original displacement field only on a small set such that the distance of the modification from a suitable infinitesimal rigid motion can be controlled by an appropriate combination of the elastic and the surface energy. In particular, the result can be used to obtain compactness estimates for functions of bounded deformation.

研究の動機と目的

• 有界変形（BD）関数の微分の反対称部に対する制御の欠如が、バリエーショナルな破壊モデルにおけるコンパクトネスを阻害することへの対処。
• 標準的なKorn-Poincaré不等式が、Griffith型エネルギー関数形と整合する形でジャンプ高さを制御できないという制限を克服すること。
• 小さな長方形集合でのみ変更される修正された変位場が、弾性エネルギーや表面エネルギーによってL²ノルムで制御可能であることを示すこと。
• ∫|e(u)|²dx + H¹(Jᵤ)というエネルギー関数形に基づく、無限小剛体変形からのL²距離の定量的評価を確立すること。これはSBD²におけるコンパクトネスに不可欠である。
• ジャンプ集合および変位場のエネルギー制御付き変更を用いた幾何線形破壊モデルにおけるコンパクトネス結果の導出フレームワークを提供すること。

提案手法

• ジャンプ集合を覆う有限個の平行軸長方形の集合上でのみ変位場を変更する手続きを導入し、その全直径がエネルギー項によって制御されることを保証する。
• 複数の方向（例えば縦方向および対角方向）における断面法を用いて境界上のトレースを推定し、境界上での変位のL²ノルムを制御する。
• ホルダーの不等式および離散型ジェンセン型推定を用いて、ジャンプ寄与項を歪みのL²ノルムおよび全ジャンプ長の観点から評価する。
• 境界成分の周囲に近接領域（長方形および十二角形）を構築し、特に小規模または低射影成分に対するトレース推定を制御する。
• 再帰的アルゴリズムを用いて小規模な境界成分を特定・修正し、修正集合の全測度が小さくなるように保証する。
• エネルギーの境界とトレース推定を組み合わせることで、最終的にKorn-Poincaré型不等式（1.4）を導出する。これにより、修正された関数がL²で無限小剛体変形に近いことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SBD²関数が無限小剛体変形からどれほど離れているかを、小さな例外集合を除いて弾性エネルギーモデルと表面エネルギーの組み合わせで制御可能か。
• RQ2 SBD²関数を小さな長方形集合上で修正することで、修正後の関数がL²ノルムで剛体変形に近くなるようにできるか。また、エネルギー境界は保たれるか。
• RQ3 小スケールの射影または小スケールの成分を持つ境界上でのトレース推定をどのように制御し、グローバルなL²境界を導出できるか。
• RQ4 平面的SBD²関数において、L²ノルムでの剛体変形からの距離が弾性エネルギーおよび全ジャンプ長にどのように依存するか。
• RQ5 微分の反対称部の制御が不十分であるにもかかわらず、エネルギー関数形∫|e(u)|²dx + H¹(Jᵤ)と整合するSBD²におけるKorn-Poincaré型不等式を確立できるか。

主な発見

• 任意のε > 0およびθ > 0に対して、定数C(θ)が存在し、全直径が(1+θ)(H¹(Jᵤ) + ε⁻¹‖e(u)‖²_{L²})で抑えられる長方形の集合E上で変位場を修正可能である。
• 修正集合Eの測度は|E| ≤ ∑(diam(Rⱼ))²を満たし、エネルギー項に比べて測度が小さくなることが保証される。
• 修正関数u − (A· + b)は、縮小された正方形̃Q上でCμ²(‖e(u)‖²_{L²} + εH¹(Jᵤ))のL²ノルムで有界であり、エネルギー関数形による制御が示される。
• ε = ‖e(u)‖²_{L²}/H¹(Jᵤ]を選び直すことで、無限小剛体変形からのL²距離がエネルギー関数形によって制御可能となり、Korn-Poincaré型不等式が得られる。
• この結果は、グリフィスエネルギー関数形の一様有界性が、小さな修正を除いてコンパクトネスを意味することを示しており、SBD²におけるコンパクトネス推移の導出を可能にする。
• 標準的なKorn不等式がジャンプ高さの制御が不十分なために失敗する状況でも、関数の挙動を、わずかな集合でのみ修正することで、SBD²で破壊近傍でうまく制御可能である。